中國城鄉最低生活保障標準的數學模型與測算

文/殷昊天 李子鈺 胡浩博 黃昱星

1 前言

2013年11月習總書記作出了“精準扶貧”的指示，要求改變粗放的扶貧手段，用更高效合理的方式幫助群眾脫貧減貧。其中，精準識別貧困是前提，精確幫扶是關鍵。落實在最低生活保障標準上，就需要制定合理科學的低保標準。如果標準過高，政府財政壓力較大，且可能助長低保戶的偷懶行為。如果過低，則難以滿足低保戶的基本生活需求。

本文擬通過單變量模型和多元線性回歸模型研究各個因素對低保線的影響，期望給民政部門提供一些參考意見。

2 以收入水平為單一變量的模型

2.1 模型的建立

人均可支配收入與低保標準的相關性極強，收入分布是影響低保標準的最主要因素。在國家低保標準政策的制定中，一般將固定比例（國際通用5%，部分發展中國家取4%左右）的收入最少的人群認定為低保人群。故低保標準的制定問題可轉化為求人群收入分布的問題。

唐昊[1]等把收入分布類比于人口增長模型中的人口總數，利用logistic 函數建立了收入分布函數的修正擬合曲線：

式中t代表居民收入，F(t)為某地區月收入不超過t的人占總人口的比例（即t的分布函數），s為一個修正變量。

圖1：各市收入的修正Logistic函數擬合圖

本文收集了2018年上海、南京、長沙和南昌市市民的薪資分布（表1）[2-5]，分別使用3%、4%和5%的比例，通過擬合函數來預測理論低保標準（圖1、表2）。結果顯示實際低保標準遠遠低于5%的國際通用比例，而與4%比例測算出的低保標準更加接近。使用4%比例，借助MATLAB軟件預測4地的理論低保標準分別為每月1015.4元、763.2元、620.0元、399.0元，而4地2018年實際的低保標準分別為1070元、810元、550元、345元，仍然存在一定誤差。

分析原因，發現上述模型在t比較大的時候擬合尚可，但在原點附近不可為零，故對低收入人群的收入擬合有較大的誤差。而低保標準的制定的目標人群主要為低收入人群，所以用此函數擬合效果不佳。

為了在低收入人群的擬合中有較準確的結果，本文將最低收入水平考慮進來，參考劉黎明[6]等的方法，把它看成一個生存分析問題處理。得到收入分布函數：

其中t0為最低收入水平，t為收入，α、β為參數

2.2 模型的求解與檢驗

我們使用生存分析方法，采用公式2擬合南京市的數據，結果如圖2。

圖2：南京市收入分布擬合圖

我們分別以3%、4%、5%的貧困人口，測得理論低保標準分別為763.3元、818.8元和874.8元。其中4%比例下的低保理論標準為818.8元，與2018年南京實際低保標準810元較為相符，理論測算值與實際值相差1.3%。

3 以支出為變量的擴展線性支出模型

3.1 模型的建立

1973年經濟學家Liuch在擴展線性支出系統模型（ELES）基礎上推出一個需求函數系統，以支出衡量需求；在一定時期內，給定價格和收入的前提下，消費者首先滿足其基本需求支出。將基本需求支出的部分固定，其余收入則按比例在商品支出與儲蓄之間分配，因此它也被稱為消費者選擇理論或消費者行動理論。

該系統有三個假設：

（1）一定時期內消費者對各種商品和服務的需求取決于它們的收入水平及各種商品和服務的價格；

（2）消費者對各種商品的需求分為基本需求和非基本需求；

（3）基本需求與收入水平無關，消費者在滿足其基本需求后才會把剩下的收入按照一定的邊際消費傾向安排各種非基本消費支出，即每個人完成最低生活標準的基本需求是一致的。

本文將達到最低生活標準的貨幣尺度作為最低生活保障線。

它的函數形式為：

式中，Ei為消費者對第i種商品或者服務的消費支出；Pi代表第i種商品的價格；Qi為第i種商品的需求量，包括基本需求和非基本需求；I代表可支配收入；βi為消費者在第i類商品或服務的支出占收入中除去各種商品和服務基本需求支出后的余額中的比例，稱為商品或服務的邊際消費傾向，

令

PM表示維持最低生活水平所需要的貨幣支出，我們可以把這個定義成低保線。

再令

于是

把人群按收入高低分布分成5類，分別代入他們的人均收入和消費額到I和Ei，使用最小二乘法回歸得出

然后利用：

求出PM。

3.2 模型的求解與檢驗

本文根據2018年北京年鑒（表3）[7]，選取食品支出、衣著支出和居住支出作為其滿足基本需求的支出計算PM、諸αi與諸βi之和。由前述方法回歸得諸αi之和為0.7716,諸βi之和為0.2985，算得PM為1099.83元,而2018年北京現行低保標準為1000元。從預測結果看，北京市居民維持最低生活保障需1100元左右，比現行低保標準高100元。說明北京現行的低保標準無法滿足低保人群的基本生活需要，有待提高。

4 不同經濟因素與低保標準相關性的分析

表1：各城市薪資分布水平表

表2：修正Logistic函數擬合預測結果

表3：北京各項人均消費支出與可支配收入（單位：元）

表4：各指標與低保標準相關性

表5：各市影響因素及低保標準

居民的收入與支出確實是影響低保標準的兩個主要因素，但人口年齡、受教育程度等因素也在一定程度上間接影響了低保標準。這些因素對低保標準的影響還不是很清楚。本文選取了人口、高齡人口占比、就業比、居民消費指數、平均每戶人數、人均財政赤字、城鎮人均支出、農村人均支出、人均GDP、市內最低工資標準，恩格爾系數等因素，抽取16個經濟狀況有梯度差的城市，查閱各市的統計年鑒建立數據庫。使用SPSS軟件分析了各指標間的相關性（表4）。

由可決系數知，城鎮人均支出、農村人均支出、平均每戶人數、市內最低工資標準的可決系數較大，對其有較大影響。

選取北京、杭州等9個發展程度不同的城市（表5），對以上4項指標進行線性多元回歸分析，得以下回歸函數：

D為現行最低生活保障線，l為市內最低工資標準，y為城鎮人均支出，z為農村人均支出，w為戶均人數。

從以上函數可得，其回歸函數的系數均為正數，即以上4因素與最低生活保障線均呈現正相關。

5 結論

本文對收入分布函數的修正擬合曲線進行驗證，發現其誤差較大，于是將最低收入水平考慮進來，把它看成一個生存分問題處理，得到收入分布函數，預測低保標準較為準確。同時為了分析收入和支出以外的因素對低保標準的影響，本文分析了各指標對低保標準的可決系數，發現城鎮人均支出、農村人均支出、平均每戶人數、市內最低工資標準的可決系數較大，對低保標準有較大影響。對以上4項指標進行線性多元回歸分析，發現這4項指標的系數均為正數，它們與最低生活保障線均呈現正相關。基于以上分析，為了使城市的最低生活保障線能夠在一定程度上有所提高，更好地符合市民的最低生活保障需求，提出以下建議：

（1）適當提高最低生活保障線與最低工資標準；

（2）對父母為獨生子女的家庭鼓勵其生育，在每戶人口不過量的情況下適當緩解老齡化；

（3）發展經濟，提高GDP。