高中數(shù)學(xué)解題中向量的有效運用淺析

■龔 斌

向量,是高中數(shù)學(xué)課程中比較有難度的一類知識內(nèi)容。從具體應(yīng)用的角度分析,可知向量的思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中是應(yīng)用率較高的一種方法。從數(shù)學(xué)概念的角度分析,向量是一種大小和方向都能夠確定下來的特殊量。

一、向量的概念簡述

從性質(zhì)上來講,向量屬于一種數(shù)學(xué)專屬概念,向量,就是指一種在大小和方向上都能夠確定的量,在具體的表示方法方面,向量的方向一般用箭頭標(biāo)明,且通常箭頭的長短代表著向量的大小。由此可見,向量是在數(shù)學(xué)概念中內(nèi)容和形式都比較明確的一個概念。

二、向量的概念和應(yīng)用類型

向量的概念在有關(guān)解題過程中的應(yīng)用,通常都不是以獨立的數(shù)學(xué)題目解析的形式出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)題的解析中,對向量的公式和方法的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下三個公式中:(1)a+b=b+a,(2)a·b=b·a,(3)λa·b=λ(a·b)。在實際應(yīng)用中只要把握好這三個基本公式,并結(jié)合向量的其他知識點,即可解決實際的數(shù)學(xué)問題。從數(shù)學(xué)問題的類型上分析,主要可以分為以下三種類型:(1)與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的問題,(2)通過平面向量解決三角函數(shù)的問題,(3)通過平面向量解決幾何問題。

三、平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分析

例1向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)·c=30,那么x=____。

分析：本題考查的是平面向量的運算方法。按照具體的計算類型分,可知計算中還包括了對向量坐標(biāo)運算的考查。另外,還包括了一部分與數(shù)量積有關(guān)的考查項目。在具體解題時,需要我們按照既定的解題步驟,將相應(yīng)的向量知識點進行分析。

解題步驟:

第一步,計算括號內(nèi)的坐標(biāo),得8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)。

第二步,通過對解題條件的拆分,可進一步進入到數(shù)量積的運算中,即得到等式(8ab)·c=(6,3)·(3,x)。

第三步,需要對得到的等式進行整理,得到一個一元一次方程,即18+3x=30。

最后一步,解方程得x=4。

分析：本題是將三角函數(shù)與向量融為一體,因此,解題時應(yīng)先從平面向量的坐標(biāo)運算入手,達到解題的目的。

解題步驟:

最后一步,解二元一次方程組,得到最終的題目答案。

注意：當(dāng)向量與函數(shù)結(jié)合時,應(yīng)當(dāng)注意問題的轉(zhuǎn)化,因為直接對題目進行觀察,不易得到解題的直接辦法,只有通過轉(zhuǎn)換,將這類問題變換成為常見的代數(shù)問題,才能更好更快地得到最終的題目答案。

四、向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用

由于向量是可以通過方向和大小的判斷同步判斷出向量的值的一種數(shù)值類型,因此,在高中數(shù)學(xué)中對于向量的應(yīng)用,同學(xué)們只要掌握其基本公式的應(yīng)用原理和方法,就能夠以此為基礎(chǔ)獲得相應(yīng)的計算方法。

五、結(jié)束語

向量是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中非常重要的一部分課程內(nèi)容,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)從向量的概念、變化和應(yīng)用幾個方面面向這部分內(nèi)容開展學(xué)習(xí),在具體的解題中,也應(yīng)當(dāng)把握從其基本公式出發(fā)的原則,通過這部分知識與其他知識的有機結(jié)合,切實解決與向量應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)實際問題。