高中數(shù)學(xué)解題中向量的有效運(yùn)用淺析

■龔 斌

向量,是高中數(shù)學(xué)課程中比較有難度的一類知識(shí)內(nèi)容。從具體應(yīng)用的角度分析,可知向量的思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中是應(yīng)用率較高的一種方法。從數(shù)學(xué)概念的角度分析,向量是一種大小和方向都能夠確定下來的特殊量。

一、向量的概念簡(jiǎn)述

從性質(zhì)上來講,向量屬于一種數(shù)學(xué)專屬概念,向量,就是指一種在大小和方向上都能夠確定的量,在具體的表示方法方面,向量的方向一般用箭頭標(biāo)明,且通常箭頭的長(zhǎng)短代表著向量的大小。由此可見,向量是在數(shù)學(xué)概念中內(nèi)容和形式都比較明確的一個(gè)概念。

二、向量的概念和應(yīng)用類型

向量的概念在有關(guān)解題過程中的應(yīng)用,通常都不是以獨(dú)立的數(shù)學(xué)題目解析的形式出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)題的解析中,對(duì)向量的公式和方法的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下三個(gè)公式中:(1)a+b=b+a,(2)a·b=b·a,(3)λa·b=λ(a·b)。在實(shí)際應(yīng)用中只要把握好這三個(gè)基本公式,并結(jié)合向量的其他知識(shí)點(diǎn),即可解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。從數(shù)學(xué)問題的類型上分析,主要可以分為以下三種類型:(1)與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的問題,(2)通過平面向量解決三角函數(shù)的問題,(3)通過平面向量解決幾何問題。

三、平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分析

例1向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)·c=30,那么x=____。

分析：本題考查的是平面向量的運(yùn)算方法。按照具體的計(jì)算類型分,可知計(jì)算中還包括了對(duì)向量坐標(biāo)運(yùn)算的考查。另外,還包括了一部分與數(shù)量積有關(guān)的考查項(xiàng)目。在具體解題時(shí),需要我們按照既定的解題步驟,將相應(yīng)的向量知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析。

解題步驟:

第一步,計(jì)算括號(hào)內(nèi)的坐標(biāo),得8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)。

第二步,通過對(duì)解題條件的拆分,可進(jìn)一步進(jìn)入到數(shù)量積的運(yùn)算中,即得到等式(8ab)·c=(6,3)·(3,x)。

第三步,需要對(duì)得到的等式進(jìn)行整理,得到一個(gè)一元一次方程,即18+3x=30。

最后一步,解方程得x=4。

分析：本題是將三角函數(shù)與向量融為一體,因此,解題時(shí)應(yīng)先從平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手,達(dá)到解題的目的。

解題步驟:

最后一步,解二元一次方程組,得到最終的題目答案。

注意：當(dāng)向量與函數(shù)結(jié)合時(shí),應(yīng)當(dāng)注意問題的轉(zhuǎn)化,因?yàn)橹苯訉?duì)題目進(jìn)行觀察,不易得到解題的直接辦法,只有通過轉(zhuǎn)換,將這類問題變換成為常見的代數(shù)問題,才能更好更快地得到最終的題目答案。

四、向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用

由于向量是可以通過方向和大小的判斷同步判斷出向量的值的一種數(shù)值類型,因此,在高中數(shù)學(xué)中對(duì)于向量的應(yīng)用,同學(xué)們只要掌握其基本公式的應(yīng)用原理和方法,就能夠以此為基礎(chǔ)獲得相應(yīng)的計(jì)算方法。

五、結(jié)束語

向量是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中非常重要的一部分課程內(nèi)容,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)從向量的概念、變化和應(yīng)用幾個(gè)方面面向這部分內(nèi)容開展學(xué)習(xí),在具體的解題中,也應(yīng)當(dāng)把握從其基本公式出發(fā)的原則,通過這部分知識(shí)與其他知識(shí)的有機(jī)結(jié)合,切實(shí)解決與向量應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問題。