超混沌系統的控制研究

周群利

(蕪湖職業技術學院電氣與自動化學院，安徽蕪湖 241006 )

0 引言

混沌運動是一種廣泛存在于數學、物理、生物、化學、地質以及某些技術性科學中的動力學行為，它具有對初始條件極度敏感、遍歷性以及類似于隨機系統的偽隨機性等性質.混沌現象由某些確定性的系統產生，并由耗散和非線性兩種運動共同作用而形成的結果.它在耗散型的作用下在宏觀上表現為相體積的收縮和穩定的現象，而在非線性運動的作用下導致了混沌系統軌道的不穩定性，從而使得運動軌道逐漸地局部分離，混沌運動和混沌現象就是在宏觀的穩定與微觀的不穩定的共同作用下產生的[1].相比于低維的混沌系統，超混沌系統(維數大于 3)具有更多正 Lyapunov 指數，具有更為復雜的動力學行為[2]，從而使得超混沌系統的動態特性更加復雜、混沌程度更高.超混沌系統被廣泛用于各個領域且具有非常廣闊的應用前景[3-4].此外，超混沌系統的混沌吸引子也不具有幾何直觀性，所以相比于現有的低維混沌系統形狀同步的研究成果，高維混沌系統控制的研究具有更高的難度[5].在一些實際應用中，混沌系統顯得較為簡單，已不能滿足人們的需要，因此對超混沌系統的深入研究對于理論和實際運用都具有重大意義[6].

混沌控制在工程技術上有著重大的研究價值和廣闊的應用前景，引起了國際上非線性動力系統和工程控制專家的極大關注[7-10].自混沌與超混沌的概念被提出以來，學者們一直致力于對混沌與超混沌系統的研究，并將其應用于保密通信、信息安全與工業等領域[11].

Liu等在2004年提出了一種三維自治混沌系統[12]，文獻[13]在已有的三維Liu 系統基礎上通過增加一個新的狀態變量和微分方程來構造一個全新的超混沌系統.本文對此超混沌系統進行動力學分析，采用自適應控制方法通過設計合適的控制器對系統進行控制，并用Matlab(R2014a)數值仿真證明該方法的有效性，為這一類超混沌系統的控制問題提供一種行之有效的控制思路.

1 一個新的超混沌系統的數學模型

文獻[13]在Liu系統的模型基礎上，提出了一種新的超混沌系統的數學模型，系統由十項構成，含有四個非線性項，其形式如下：

(1)

當系統參數取值為：a=19，b=8，c=42，d=2時，系統處于超混沌狀態，文獻[13 ]分析計算了它的混沌特性參數，在此不再贅述.由Matlab(R2014a)軟件編程計算結果可知，系統有3個平衡點，分別為：Q1(0,0,0,0)，Q2(38.08,8.823,42,185.292)，Q3(-38.08,-8.823,42,-185.292)，利用此軟件可求出系統在這些平衡點處的特征值.經Matlab軟件編程求解發現：每個平衡點處所對應的特征值均存在正實部的特征根，所以系統的3個平衡點均不是穩定的平衡點，屬于不穩定的鞍點.

當在該組參數下系統初值取[x,y,z,w]T=[0.01,0.01,0.01,0.01]T時，系統的混沌吸引子如圖1所示，從圖1可以看出，該超混沌系統蘊含著非常豐富的動力學特性，系統狀態變量變化毫無規律可循，其相軌跡在混沌吸引子內盤繞折疊，呈現出總體吸引，但局部排斥且有界的精細的結構，這種結構是典型的混沌系統所具有的，在初始參數取值下，系統最終進入非周期的混沌運動.

圖1 一個新的超混沌系統的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of a new hyperchaotic system

2 一個新的超混沌系統的自適應控制

控制系統最重要的特性是它的穩定性，一個不穩定的控制系統不但無法完成預期的控制任務，而且還存在一定的潛在危險性.穩定性指的是，如果一個系統在靠近其期望工作點的某處開始運動，且總是能保持在期望工作點附近運動，那么就稱該系統是穩定的.在許多工程應用中，僅有李雅普諾夫意義下的穩定是不夠的.一些工程要求由漸近穩定性概念來表達.對于一個自治系統，如果平衡點xe=0是穩定的，而且存在δ>0，使得當

受控的新的自治超混沌系統為：

(2)

其中U=[u1,u2,u3,u4]T為要設計的控制器，在系統參數未知的情況下，采用自適應控制方法，對系統(1)式設計控制律和參數自適應律，使新的超混沌系統狀態穩定到系統的任意一個不穩定的平衡點Q(x0,y0,z0,w0).在系統的任意一個不穩定平衡點Q(x0,y0,z0,w0)處，對新的超混沌系統的數學模型(1)式進行坐標變換，狀態變量設為

(3)

將(3)式代入受控的新的超混沌系統(2)式得：

(4)

從而將超混沌系統(1)式控制到任意一個不穩定平衡點Q(x0,y0,z0,w0)的問題轉化為變換后的系統(4)式在坐標原點的鎮定問題.

定理對于變換后的系統(4)式設計如下的控制器：

(5)

以及參數自適應律

(6)

時，變換后的受控系統(4)式在原點是漸近穩定的.即受控的新的超混沌系統(2)式被控制到不穩定平衡點Q(x0,y0,z0,w0).(5)、(6)兩式中a1,b1,c1,d1分別為對未知參數a,b,c,d的估計值，控制增益k1,k2,k3,k4均大于零.

證明：(5)、(6)兩式代入(4)式得：

(7)

對V求導并化簡可得：

3 系統仿真結果

采用自適應控制方法對一個新的超混沌系統進行控制，使其鎮定到系統的任意一個不穩定平衡點，假定這個平衡點取為Q2(38.08,8.823,42,185.292)，假設“已知”系統參數為(a,b,c,d)=(5,5,4,8)，系統初始狀態取值((x(0)，y(0)，z(0),w(0))=(0.01,0.01,0.01,0.01)，系統參數估計值初始值取為((a1(0)，b1(0)，c1(0),d1(0))=(7,4,-5,-2)，系統控制增益取值為(k1,k2,k3,k4)=(6,8,7,10).

下面利用Matlab軟件進行系統仿真.從圖2可以看出超混沌系統(1)式在所設計的控制器及自適應律作用下四個狀態變量在1.5s左右穩定控制在系統的其中一個不穩定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)，圖3為參數a1,b1,c1,d1對未知參數a,b,c,d的估計收斂曲線，在2s左右的時間里參數a1,b1,c1,d1即可穩定收斂于其相應的估計值.當適當增加系統控制增益時，超混沌系統(1)式四個狀態變量被穩定控制在其中一個不穩定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)的速度加快，同時系統參數a1,b1,c1,d1穩定收斂于其相應的估計值的速度也加快了，從而提高了系統的響應速度，滿足了控制要求.當取系統控制增益(k1,k2,k3,k4)=(20,13,12,15)時仿真結果如圖4、圖5所示，從仿真結果可以看出四個狀態變量在1s內即可穩定收斂于不穩定平衡點Q2(38.08,8.823,42,185.292)，系統參數a1,b1,c1,d1穩定收斂于其相應的估計值大約只需要1s左右.

圖2 超混沌系統(1)式的狀態被控制到不穩定平衡點Q2Fig.2 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2

圖3 a1,b1,c1,d1對系統未知參數a,b,c,d的估計收斂曲線Fig.3 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system

圖4 超混沌系統(1)式的狀態被控制到不穩定平衡點 Q2(仿真)Fig.4 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2(Simulation)

圖5 a1,b1,c1,d1對系統未知參數a,b,c,d的估計收斂曲線(仿真)Fig.5 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system(Simulation)

以上仿真結果表明自適應控制方法對超混沌系統(1)式的控制是完全有效的.也可以設計合適的控制器和參數自適應律，將超混沌系統的狀態控制到其他的不穩定平衡點，在此不再贅述.

4 結論

對一個新的超混沌系統采用自適應方法進行控制，設計了合適的控制器以及參數自適應律，在其作用下可將超混沌系統的狀態快速地控制到系統的任意一個不穩定平衡點，同時還可對超混沌系統的未知參數進行估計，在極短時間內可使未知參數的估計值收斂于一個恒定值.仿真結果表明自適應控制方法是處理參數不確定混沌系統的有效方法，為其它非線性不穩定系統的控制提供了一種行之有效的解決思路.