兩串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)律

摘 ?要： 本文考慮了兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)，證明了重話務(wù)條件下逗留時間的泛函重對數(shù)率。逗留時間指的是一個顧客從到達系統(tǒng)到離開系統(tǒng)的時間，泛函重對數(shù)率基于更新過程的強逼近。

關(guān)鍵詞： 兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊;流逼近;強逼近;泛函重對數(shù)律

中圖分類號： O226 ? ?文獻標(biāo)識碼： A ? ?DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.04.033

本文著錄格式：張玉艷. 兩串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)律[J]. 軟件，2019，40（4）：154158

【Abstract】： We obtain the of the functional law of the iterated logarithm of the sojourn time progress for a two-stage tandem queue in heavy traffic. The sojourn time is the period from a customer's arrival to her departure.

【Key words】： Two-stage tandem queue; Fluid limit; Strong approximation; The functional law of the iterated logarithm

0 ?引言

本文考慮一個兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率，兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)是指顧客從外部進入系統(tǒng)按照先到先服務(wù)的服務(wù)規(guī)則排隊等待（FCFS），依次先后接受兩個串聯(lián)服務(wù)臺的服務(wù)，服務(wù)完成后離開系統(tǒng)，從進入系統(tǒng)到離開系統(tǒng)的時間稱之為逗留時間，本文證明了在重話務(wù)條件下即服務(wù)強度 逗留時間泛函重對數(shù)率（FLIL）的結(jié)果。

考慮兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率基于以下兩個原因：一方面，串聯(lián)排隊系統(tǒng)在港口運輸、計算機通訊、交通控制、生產(chǎn)管理、生產(chǎn)流程等領(lǐng)域中具有十分廣泛的應(yīng)用，見Harrision[1]和Guo等[2]，而逗留時間涉及到服務(wù)效率和顧客的時間成本問題，是管理者運營的重要考量因素。另一方面：泛函重對數(shù)率是基于更新過程的強逼近，強逼近是比流體逼近更強的一種逼近方式，前人在泛函重對數(shù)方面的研究僅限于隊長、負荷、忙期、閑期，本文證明了逗留時間的泛函重對數(shù)率的結(jié)果，補充了前人的研究成果，雖然研究方法只適用于重話務(wù)條件下即服務(wù)強度 的臨界態(tài)，卻對其他情況下逗留時間泛函重對數(shù)率提供了啟發(fā)。

通過Strassen[3]，泛函重對數(shù)率第一次由布朗運動或維納過程發(fā)展，所有的泛函重對數(shù)率的極限基于更新過程的強逼近，下述等式的成立：

Guo[4]證明了等號兩邊的極限相等。則求解泛函重對數(shù)的結(jié)果就轉(zhuǎn)化為求解 的極限問題。

文章安排如下：第一章給出模型描述和參數(shù)設(shè)定，第二章給出泛函重對數(shù)率的結(jié)果和證明。本文使用的一些符號：所有的隨機變量和隨機過程都定義在一個共同的概率空間內(nèi) ? 表示隨機變量 的均值， 表示其方差。 表示一種定義，對于 ，任給 ，令 ， 。 表示第 個服務(wù)臺隊長、逗留時間、忙期、閑期流逼近的結(jié)果。 表示 維在 上右連續(xù)在 左極函數(shù)空間， 是在 內(nèi)連續(xù)函數(shù)的集合，對于函數(shù) ， 定義 ? ?， 是“uniformly on compact set”的縮寫，表示在緊集上一致收斂。如果當(dāng) 時， ，記為 ，用 表示以概率1， 表示恒同映射，如果 是一個相對緊集，并且所有收斂點的集合是 ，就說 。

1 ?模型參數(shù)及設(shè)定

3 ?結(jié)論

本文給出了兩服務(wù)臺串聯(lián)排隊證明在重話務(wù)條件下（當(dāng)服務(wù)強度 時）逗留時間的泛函重對數(shù)率，得出當(dāng) 時，在兩串聯(lián)排隊服務(wù)系統(tǒng)逗留時間的泛函重對數(shù)率是兩個單服務(wù)臺逗留時間泛函重對數(shù)率的和。證明過程中我們沒有對隊長，忙期，閑期過程的流逼近，強逼近給出證明而是直接基于前人的結(jié)果，同樣我們需要指出的是求解方法只適用于重話務(wù)臨界態(tài) 的情況。對于其他情況，我們指出上述證明過程不適用。

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