“云”朵深處探本源　復習教學細思量

欒功

[摘? ?要]走進2019年高考題“云”之深處，探索命題本源，研究真題把握新高考趨勢，能更好地指導高三復習教學.

[關鍵詞]高考題;全國卷Ⅲ;解法;復習

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0001-03

正如唐代詩人杜牧在《山行》中寫道“遠上寒山石徑斜，白云生處有人家”，2019年高考理科試題全國卷Ⅲ中一朵“云”引發了無數網友和考生的熱議，網上更是各種吐槽層出不窮.“我看到了一朵云……一朵云……我當時大腦一片空白.”“完全不按套路出牌，練了那么多還是沒用.”“全國卷Ⅲ的云朵好凄美！”那么試題的本來面目究竟如何呢？讓我們一起走進“云”朵深處，探索本源，細細思量.

題目：（2019年新課標Ⅲ卷文理22）如圖1，在極坐標系[Ox]中，[A2，0]，[B2，π4]，[C2，3π4]，[D2，π]，弧[AB，BC，CD]所在圓的圓心分別是[1，0]，[1，π2 ，1，π]，曲線[M1]是弧[AB]，曲線[M2]是弧[BC]，曲線[M3]是弧[CD].

（1）分別寫出[M1]，[M2]，[M3]的極坐標方程;

（2）曲線[M]由[M1]，[M2]，[M3]構成，若點[P]在[M]上，且[OP=3]，求[P]的極坐標.

一、試題解析

解：（1）由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.

[M1： ρ=2cosθ? θ∈0，π4]，

[M2： ρ=2cos? θ-π2=2sinθ? θ∈π4，3π4]，

[M3： ρ=2cos（θ-π）=-2cosθθ∈3π4，π] .

（2）解方程[2cosθ=3θ∈0，π4]得[θ=π6]，此時[P]的極坐標為[3，π6]，

解方程[2sinθ=3θ∈π4，3π4]得[θ=π3]或[θ=2π3]，此時P的極坐標為[3，π3]或[3，2π3] .

解方程[-2cosθ=3θ∈3π4，π]得[θ=5π6]，此時[P]的極坐標為[3，5π6].

故[P]的極坐標為[3，π6]，[3，π3]，[3，2π3]，[3，5π6] .

評注： 試題源于教材，考查極坐標的基礎知識和基本方法，屬于常規中檔題目.試題新穎之處是以“云”曲線的形式給出，表面給考生造成一定的心理壓力.若仔細分析，整體還是有利于考生發揮解答的.第（1）問以三段圓弧為載體，給出圓心和圓上的點，求三段圓弧的極坐標方程，考查極坐標方程的基本概念和求法，對于平時只刷題不仔細回扣課本概念的考生來說很容易在極角的范圍處出錯.第（2）問進一步考查考生用極坐標方程解決一些和極點有關的角度和長度問題的能力.試題的設計符合課程標準對極坐標系內容的教學要求.

二、本質探源

《禮記》中記載道：“唯社丘乘粢盛，所以報本反始也.”由此可見，教師的教學和備考工作只有回歸本源，在根本處下功夫，與課本相伴，研究歷年真題的變化規律，方能讓學生取得好成績.

題根1：? 如圖2，半徑為[a]的圓的圓心坐標為[Ca，0] [a>0]，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標[ρ，θ]滿足的條件嗎？（人教A版選修4-4第12頁“圓的極坐標方程探究”）

題根來源于圓的極坐標方程的新課探究內容.我們發現特殊地當[a=1]和[a=-1]時，就是今年高考試題第22題中的曲線[M1]和[M3]，極坐標方程分別為[ρ=2cosθ]和[ρ=-2cosθ].考生只需要根據題目給出圓弧加注極角范圍即可.

探究內容不只是求出曲線[C]的極坐標方程，還特別好地給出了求曲線的極坐標方程的一般方法，即求曲線方程時，關鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，將它用坐標表示，再通過代數變換進行化簡.與求圓的直角坐標方程相比，求它的極坐標方程更加簡便，因為在極坐標系下，圓上點的坐標[ρ，θ]所滿足的條件更容易表示，代數變換也更加直接.

題根2： 在極坐標系中，求適合下列條件的圓的方程.（4）圓心在[a，π2]，半徑為[a]的圓.（人教A版選修4-4第15頁習題2.（4））

課本很及時地給出了圓心在[y]軸且過極點的圓的習題，可得[ρ=2asinθ].同時課本習題還給出了特殊地當[a=1]時的方程[ρ=2sinθ]，讓畫出圖形.這就是原原本本的今年高考試題里的曲線[M2].看到這里，疑“云”已消散，“云”原來是課本探究和習題的完美組合，是考生學習新課時第一眼見到的“云”朵，正所謂“不忘初心，方得始終”.

三、細細思量

通過上述考題看我們的復習教學，筆者認為復習忌大量刷題代替系統復習，忌題型訓練代替課本回歸，應該注重鞏固基礎知識和強化基本方法，盡可能地挖掘概念的內涵和外延.例如，極坐標與方程核心的概念就是極角[θ]和極徑[ρ]以及建立[ρ]和[θ]的聯系.相比直角坐標系下的普通方程，極坐標方程可以更方便、快捷地解決和極點有關的角度和長度問題，這也是我們復習的重點.

1.以課本為根本，深挖概念本質

課本是考生學習的第一素材，是命題人命題的主要依據.在高三的一輪復習中，忌一味刷題訓練，教師要帶領學生走進課本，重溫數學概念的本質，挖掘數學概念的內涵和外延，建立知識之間的聯系，讓學生逐步體會、感知和學會運用課本滲透的數學思想和方法解題.

以上述考題為例，第（1）問求曲線的極坐標方程，這是課本內容的重點.新課探究中明確說明了一般求解程序，其中極角的范圍是考生的易錯點.對極角概念的考查在新課標試卷中早已出現.例如2014年新課標Ⅱ卷22題：在直角坐標系[xOy]中，以坐標原點為極點，[x]軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓[C]的極坐標方程為[ρ=2cosθ]，[θ∈0，π2].（1）求C的參數方程.