絕對值復合問題的解法探究

王苑

[摘? ?要]絕對值是高中數學的基本概念，以其為基礎命制的考題比較多.例如，絕對值不等式問題、絕對值函數問題等.解此類問題的關鍵是采用合理的方式除去其中的絕對值，常用的解題方法有公式法、分類討論法和數形結合法.

[關鍵詞]絕對值; 復合問題;探究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0025-02

絕對值是高中數學的重點知識，含有絕對值的問題在高考中出現的頻率也很高.含絕對值的問題具有很強的綜合性，解法也較為靈活.下面探討含絕對值的問題的常用解法.

一、公式運用

求解絕對值問題的關鍵是去絕對值符號，最為常用的方法是結合絕對值的定義、性質，采用公式法求解.例如關注其非負性，使用平方公式;關注其等價關系，使用三角不等式轉化，等等.實際解題時需要重點分析問題特點，提煉條件.

[例1]已知不等式[2x-3<3x+1]，試求x的取值.

解析：此題屬于常規的含絕對值的不等式問題，可以使用基本的公式來轉化.對于a > 0，有[xa][?][x>a]或a>0時，[x

根據絕對值的性質可知[3x+1]> 0，進而可將原不等式轉化為-（3x+1） < 2x-3 < 3x+1，則可以構建如下不等式組：[2x-3>-3x-12x-3<3x+13x+1>0]，則有[x>25x>-4x>-13]，

綜合可知[x>25]，即x的取值為[x>25].

點評：上述在解含有絕對值的不等式問題時采用了公式法，從而實現了問題的等價轉化，構建了對應的不等式組，即采用“絕對值不等式→不等式組”的策略.實際上就是利用綜合去絕對值公式和成立條件來構建不等式組，后續取值范圍分析時需要從交集角度綜合考慮.

二、分類討論

對于含有絕對值的問題，還可以采用分類討論的方法，包括零點討論和參數討論.前者是在坐標軸上將每個絕對值為零的零點標注出來，利用零點分割數軸，然后討論各段取值;后者則是結合參數的取值范圍來針對性探討含絕對值的符號.

[例2]已知關于x的不等式[2x-m≤1]的整數解有且只有一個，且為2.

（1）試求整數m的取值;

（2）在（1）成立的前提下解不等式[x-1+x-3≥m].

解析：此題屬于含絕對值的不等式問題，解題的關鍵是采用合適的策略去掉絕對值符號.第（1）問求整數m的值，不等式只含有一個絕對值，利用絕對值的定義可將其轉化為[m-12≤x≤m+12]，題干指出不等式的整數解有且只有一個，為2，則可進一步化為[m-12≤2≤m+12]，從而有[3≤m≤5]，分析可知m = 4.

第（2）是在第（1）問的基礎上展開的，則不等式變為[x-1+x-3≥4].該不等式中含有兩個絕對值，可以采用零點討論的方式，利用零點來討論各段的取值.其中的零點為x=1和x=3，則需要分以下三種情況：

①當[x≤1]時，可將不等式轉化為1-x+3-x[≥4]，解得[x≤0].則不等式對應的解集應為[xx≤0];

②當1< x [≤3]時，可將不等式轉化為x-1+3-x [≥4]，則[x∈?].則不等式對應的解集應為[?];

③當x >3時，可將不等式轉化為x-1+x-3[≥4]，解得[x≥4].則不等式對應的解集應為[xx≥4].

綜上可知，不等式的解集為[-∞，0?4，+∞].

點評：對于含有一個絕對值的問題，一般結合定義，采用公式法來直接轉化.而對于含有多個絕對值的問題，可以采用分類討論的方法，通過分類來細化取值范圍，降低思維難度，實現去絕對值的目的.而在分類討論的過程中需要注意幾點：①確定討論的域，確保討論中“不重復、不遺漏”;②確定討論標準，整個討論過程只能按照同一標準;③注意總結歸納，分類討論需要得出有效的結論，這就需要對討論結果加以綜合.

三、數形結合

數形結合是分析代數問題最為有效的方法之一，通過數形結合的方法可以將代數問題形象直觀化，從而有效降低解題難度，求解絕對值問題同樣可以靈活采用數形結合的方法.

[例3]現已知函數f （x）= [x2+3x]，[x∈R]，如果f （x）-a[x-1] = 0，剛好有四個互不相同的實數根，試求實數a的取值范圍.

解析：對于方程f （x）-a [x-1] = 0，根據絕對值的性質可知f （x）[≥0]，[x-1≥0].顯然a > 0，方程變形可得f （x）= a [x-1]，則可以將其拆解為兩個函數，即f （x）=[x2+3x]和g（x）= [ax-1]，兩者的圖像關系可分為以下兩種情形：

①若y=-[x2-3x]與y=-a（x-1）相切時，如圖1所示，此時a=1，結合圖像交點可知方程剛好有3個互不相同的實數根;

[圖1][圖2]

②當y = [x2+3x]與y = a（x-1）相切時，如圖2所示，此時a = 9，結合圖像交點可知方程剛好有2個互不相同的實數根.

綜上，結合圖像分析可知，若要使方程剛好有4個互不相同的實數根，則有0 < a < 1或a > 9.

點評：對于含有絕對值的方程問題可以采用數形結合的方法，即首先拆分出函數，結合函數知識繪制對應的函數圖像，將問題轉化為分析函數圖像問題，而曲線的交點就為方程的解.而在作圖時需要關注兩點：一是注意挖掘題干中的隱含條件，細化參數取值，簡化作圖;二是注意圖像繪制準確，尤其是對于圖像的臨界位置，需要充分結合相關參數來加以分析.另外，數形結合的過程不需要刻意而為，從條件出發，探索問題轉化思路.

總之，絕對值的問題類型很多，且常與其他知識綜合考查，常見的有基本的絕對值不等式求值和復合的絕對值函數問題，而基本的性質、定理、公式是求解不等式復合問題的基礎，對于其中的函數問題則需要合理利用函數的圖像、單調性等知識來突破.從上述例題的突破求解來看，對于較為簡單的絕對值問題，可從代數角度，利用代數公式來分析求解，而對于較為復雜的絕對值問題則需要靈活應用解題策略來簡化.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 何安旗.優選轉化策略 何愁分類討論：對一類含參絕對值問題的探究[J].中學數學，2019（11）：39-40+42.

[2]? 何文明，夏松明.一類含絕對值二次函數問題的解法探究[J].中學數學教學參考，2017（27）：42-44.

[3]? 沈申文.數形結合思想在高中數學教學與解題中的有效運用[J].數學教學通訊，2019（9）：76-77.

（責任編輯 黃桂堅）