通過“底圖”突破立體幾何的建系難點

常艷 龍宇

[摘? ?要]學生常常通過向量解決立體幾何問題，而如何選擇建系的原點是一大難點.通過對“底圖”的分析，能為學生建系提供思考的方向.

[關鍵詞]底圖;建系;立體幾何

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0024-02

解決立體幾何問題有幾何法和空間向量法.幾何法涉及輔助線的添加及空間關系的理解.與幾何法相比，向量法的思維量小，所以向量法成為更多學生的首選.運用向量法的一大難點在于坐標系的建立.本文介紹一種以“底圖”為思考出發點的建系策略，供讀者參考.這里說的“底圖”是指立體圖形中的底面圖形.

一、題目

題1：如圖1，多面體[ABCDEF]中，底面[ABCD]為菱形，[∠BAD=60°]，[AB=2]，[DF=BE=1]，[AF=CE=3]，且平面[ADF⊥]底面[ABCD]，平面[BCE⊥]底面[ABCD].

（1）證明：[EF⊥]平面[ADF];（2）求二面角[A-EF-C]的余弦值.

分析：該幾何體的底面為有一個角為[60°]的菱形，[△ADF]與[△BCE]為全等三角形，且所在的平面與底面垂直.該圖形與2015年新課標Ⅰ卷理科第18題極為相似，現展示如下.

題2：如圖2，四邊形[ABCD]為菱形，[∠ABC=120°]，[E]、[F]是平面[ABCD]同一側的兩點，[BE⊥]平面[ABCD]，[DF⊥]平面[ABCD]，[BE=2DF]，[AE⊥EC].（1）證明：平面[AEC⊥]平面[AFC];（2）求直線[AE]與直線[CF]所成角的余弦值.

分析：兩個圖的底面相同，圖1有兩個側面與底面垂直，圖2的四個側面均與底面垂直.

二、常見的“底圖”及建系策略

利用空間向量解題的關鍵在于建立空間直角坐標系.建系的關鍵在于對“底圖”的認識，我們可以僅僅考慮“底圖”，對于常見的“底圖”，熟悉相關的幾何性質與建系方法，有助于我們突破整個立體圖形的建系難點.

1.有一個角為[60°]的菱形

如圖3-1，如何建立平面直角坐標系求得對應的坐標呢？結合菱形的相關性質，可以選擇[AC]與[BD]的交點[O]（[∵AC⊥BD]），或四條邊的中點，如[AD]的中點[E]（[∵AD⊥BE]），或四個頂點進行建系.具體如圖3-2.

2.箏形

箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形，與菱形定義相對應.本文僅介紹幾個常見的箏形圖形及建系方法.如圖4-1，本文選擇了一組對角為[60°]，[120°]或[60°]，[90°]的箏形進行研究.

可仿照圖3-2的建系方式，以[AC]與[BD]的交點[O]，或各邊的中點及四個頂點進行建系.具體如圖4-2.

3.矩形

在某些以折疊為背景的圖形中，常常是矩形，具體如圖5.

利用三角形相似或向量等方法可容易證明[AE⊥BD].即可以選擇以[AE與BD]的交點[O]進行建系.

三、解法呈現

解法一：有了上面的“底圖”分析作為基礎，學生就可以有效地解決題1的建系問題.

如圖6-1建系，以[AD]的中點[O]為原點，建立空間直角坐標系，也可選擇[AC]與[BD]的中點或[A，B，C，D]進行建系，得到各個點的空間坐標.

[O（0，0，0）]，[A（1，0，0）]，[B（0，3，0）]，[C（-2，3，0）]，[D（-1，0，0）]，[E-12，3，32]，[F-12，0，32].關于點[E，F]的坐標，可根據其所在平面計算.結合上面的坐標即可解決所有問題.

對于題2，可如圖6-2建系，以[AC與BD]的交點[G]建立空間直角坐標系.對應的各點坐標如下：

設菱形[ABCD]的棱長為[2]，則有[G（0，0，0）]，[A（0，-3，0）] ，[B（1，0，0）] ，[C（0，3，0）] ，[D（-1，0，0）]，[E（1，0，2）]，[F-1，0，22 ].

解法二：題1中，兩個側面[△ADF]和[△BCE]為全等的直角三角形.結合上文中的“折疊”模型，將圖1中的[△ADF]和[△BCE]分別繞[AD，BC]旋轉即可獲得一個完整的“矩形”.具體如圖7-1.

設[AD]與[EF]的交點為[O]，根據圖5，可在點[O]處建系，具體如圖7-2.

對應的各點的坐標如下：[O（0，0，0）]，[A43，0，0]，[B23，3，0]，[C-43，3，0]，[D-23，0，0]，[E0，3，32]，[F0，0，32] .

根據以上的坐標即可獲得問題的解.

兩種解答模式的基本思路一致，均是以“底圖”進行思考.

除了上面的幾種“底圖”外，常見的“底圖”還有三角形、梯形等.教師在平時的教學中，應讓學生學會分析“底圖”，將建系的難點從空間維度降低到平面維度.對此，平面圖形的幾何性質，特別是垂直關系就顯得尤為重要，在平時的訓練中要注意對該類性質的積累.

（責任編輯 黃桂堅）