橢圓參數方程中參數的幾何意義辨析與反思

邱星明

[摘? ?要]在剖析例題錯解的基礎上，深入辨析橢圓的參數方程中參數的幾何意義， 并從橢圓的參數方程、直線的參數方程、極坐標方程以及普通方程四個視角給出例題的四種正確解法，讓學生更好地理解“參數”，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]橢圓;參數方程;幾何意義

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0022-03

“參數法”是數學解題的一種重要方法.通過設參、用參、消參，化簡問題，促使問題得以解決.在應用參數解題時，有兩點必須注意：一是新參數的取值范圍是否與原變量一樣;二是要注意參數的幾何意義.就橢圓的參數方程而言，絕大多數學生只會用它來換元，忽略了橢圓參數方程中參數的幾何意義，一旦遇到如下問題，就會出錯，更有甚者，對照參考答案，發現自己的答案錯了，但不知道錯在哪里？

一、提出問題

【例題】在直角坐標系[xOy]中，曲線[C]的參數方程為[x=2cosφ，y=sinφ.]（[φ]為參數）以坐標原點為極點，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標系，[A，B]為[C]上兩點，且[OA⊥OB]，設射線[OA：θ=α]，其中[0<α<π2].

（1）求曲線[C]的極坐標方程;（2）求[OA?OB]的最小值.

第（1）小題學生都能掌握，故主要針對第（2）小題進行研究.

錯解：設[A2cosα，sinα]，因為[OA⊥OB]，則[B2cosα±π2 ，sinα±π2]，所以[OA?OB=2cos2α+sin2α2sin2α+cos2α ][=2+14sin22α].因為[0<α<π2]，所以[sin2α∈0，1]，故[OA?OB]的最小值是[2].

二、辨析糾錯

學生出現上述錯解的原因主要是不理解橢圓參數方程中參數[φ]的幾何意義，錯把點A的離心角當作OA的傾斜角.對此，筆者以人教版選修4-4? P27-28的內容來引導學生辨析橢圓參數方程中參數的幾何意義.

橢圓的標準方程為[x2a2+y2b2=1a>b>0]，其所對應的一個參數方程為[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]為參數）其中參數[φ]的幾何意義是什么？下面，我們來研究橢圓的幾何作圖.

如圖1，以原點O為圓心，分別以[a，b（a>b>0）]為半徑作兩個同心圓，設A為大圓上任一點，連接OA交小圓于點B，過點A作AE垂直于x軸，垂足為E，過B作BD⊥AE，垂足為D，設[∠ xOA=φ]，點D的坐標為[x，y]，那么點A的橫坐標為x，點B的縱坐標為y，由三角函數的定義有[x=acosφ]，[y=bsinφ].

當半徑OA繞原點O旋轉一周時，就得到了點D的軌跡，它的參數方程是[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]為參數）這是中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓.

由圖1可以看出，參數[φ]是點D所對應的圓的半徑OA（或OB）的旋轉角（稱為點D的離心角），而不是OD的旋轉角.

本例的錯解中，設[A2cosα，sinα]，則在圖2中對應于[∠DOx=α]，由[OA⊥OB]，錯把點B設為[2cosα±π2 ，sinα±π2].為便于說明，我們設[B為2cosα+π2 ，sinα+π2]，實際上是把半徑OD逆時針旋轉[90°]到OG，從圖2可以看出，[∠AOB≠90°]，與條件不符，從而得到錯誤的答案.

有鉆研的學生會追問：如果本題就用橢圓的參數方程，應如何求解？為了能利用橢圓的參數方程解決本題，我們先探求參數[φ]和旋轉角[α]的關系.

如圖1，設∠xOA=[φ]，∠xOD=[α]，并設點D的坐標為（x，y），則[x=acosφ，y=bsinφ，]又[x=ODcosα，y=ODsinα，]? 當[φ和α]的終邊不在坐標軸上時，可得[sinφcosφ=asinαbcosα]，設[sinφ=tasinαcosφ=tbcosα]，代入橢圓的參數方程得[x=tabcosα ，y=tabsinα.]由[sin2φ+cos2φ=1]，得[ t2=1a2sin2α+b2cos2α].在此基礎上可得本例的參數方程解法.

解法1：設[A2cosφ，sinφ]，由前述探索，可設[A2tcosα，2tsinα]，則

[OA=2t2cos2α+2t2sin2α=21+sin2α].

因為[OA⊥OB]，所以[OB=21+cos2α].

則[OA?OB=][22+14sin22α]，

當[α=π4]時，[OA?OB]取最小值[43].

點評：從概念辨析的角度來看，應讓學生明確橢圓的參數方程中參數的幾何意義，并會用它來解此類問題，但這種解法并不是解此類題的最好方法.

三、轉換角度

我們知道，凡涉及線段長度問題應用直線的參數方程或曲線的極坐標方程都是很好的選擇.下面我們分別用這兩個工具來解題.

解法2：依題意可設直線OA的參數方程為[x=tcosα，y=tsinα.]（[t]為參數）代入曲線[C]的普通方程得[t2cos2α2+sin2α=1]，設點A對應的參數為[t1]，則[t1=21+sin2α].

設點B對應的參數為[t2]，由已知可得[t2=21+cos2α]，

所以[OA?OB=t1t2=][22+14sin22α].

故當[α=π4]時，[OA?OB]取最小值[43].

解法3：由（1）知曲線[C]的極坐標方程為[ρ2=21+sin2θ].根據題意，射線[OB]的極坐標方程為[θ=α±π2].

[OA=ρ1=21+sin2α]，[OB=ρ2=21+cos2α]，

[則OA?OB=ρ1?ρ2][=21+sin2α?1+cos2α≥][21+sin2α+1+cos2α2=43].當且僅當[α=π4]時，

[OA?OB]取得最小值[43].

點評：解法2、3分別應用了直線的參數方程和曲線的極坐標方程，從解題角度來看，優于應用橢圓的參數方程的解法.在教學中應讓學生明確直線的參數方程中參數的幾何意義和曲線的極坐標方程中[ρ，θ]的幾何意義.靈活運用它們來解題，有立竿見影的效果.

很多學生因為對參數或[ρ]的意義掌握不好，怕用參數方程或極坐標方程解題，越怕就越不會用.如何利用普通方程求解呢？

解法4：依題意可設直線OA的方程為[y=kx]，其中[k=tanα>0]，

代入橢圓方程[x22+y2=1]，消去y得[x2=21+2k2]，

所以[OA=x2+y2=21+k21+2k2]，

因為[OA⊥OB]，所以直線OB的斜率為[-1k]，可得[OB=2k2+1k2+2]，所以[OA?OB=21+k21+2k2k2+2]，

令[t=1+k2>1]，[OA?OB=2-1t-122+94]，

當[t=2]，即[k2=1]時取得最小值[43]，因為[0<α<π2]，此時[k=1， α=π4].故[OA?OB]的最小值為[43].

四、反思總結

學生出現解題錯誤，我們第一反應就是學生所學的知識沒有掌握好，解題能力有欠缺或者粗心.但是給了參考答案，學生也不理解.除了上述原因外，還有沒有其他需要我們反思的問題？針對本案例，筆者進行了思考，提出以下的三條建議.

1.課前要“研”.教師要做研究型的教師，教師研究的內容很多，可以有：研方向、研教材、研試題、研教法、研學法.若教師平時不研究，也不備課，憑經驗去上課，必然目標不明，錯漏百出，訓練不到位，教學效率低下.

2.課中要“活”.課堂上，應該學生學得主動，教師講解生動，師生良序互動，思維碰撞靈動.教師教法靈活，解法靈活，一題多解，一題多變，一題多用.要讓學生敢于質疑，師生共同糾錯.應當強調，糾錯是提高課堂教學有效性，特別是講評課教學有效性的重要手段.本文從學生考試中的錯解出發，通過回歸課本，應用橢圓的幾何圖形，讓學生正確理解橢圓的參數方程中參數的幾何意義，對參數[φ]和OA的旋轉角[α]進行了深入辨析.本文還從橢圓的參數方程、直線的參數方程、極坐標方程以及普通方程四個視角給出了四種正確解法，不單是辨析了概念，還通過一題多解，啟迪學生思維，拓展學生思維的廣度與深度，提高學生的解題能力，提升學生的數學學科素養.

3.課后要“實”.考試、作業、批改、輔導、反思、錯題訂正、關愛學生、與學生結對子等都需要落到實處，這是提高教學有效性的必經之路.

（責任編輯 黃桂堅）