隨機五角鏈和隨機螺旋五角鏈的指標①

張海東，王維忠

蘭州交通大學 數理學院， 蘭州 730070

本文考慮的圖均為簡單無向連通圖． 設圖G的頂點集為V(G)={v1，v2， …，vn}， 邊集為E(G)． 記dv為圖G中頂點v的度， 且(di，dj)表示度分別為di和dj的兩頂點間的邊， 圖G中邊為(di，dj)的數目記為mdidj(G)， 其他符號可參見文獻[1]．

若連通圖G中任意頂點的度小于5， 則稱其為分子圖． 文獻[3]研究了隨機聚苯鏈的Wiener指標， 之后文獻[4]分別定義了α，β，γ-隨機五角鏈． 受文獻[5]的啟發， 本文引入隨機螺旋五角鏈， 即將α-隨機五角鏈的所有割邊收縮之后所成的隨機五角鏈．

1 隨機五角鏈的指標

圖1 α-五角鏈Bn 圖2 α-五角鏈的兩種局部結構

圖3 β-五角鏈Cn 圖4 β-五角鏈的兩種局部結構

圖5 γ-五角鏈Dn 圖6 γ-五角鏈的兩種局部結構

(1)

證當n=2時， 直接計算得

當n>2時， 顯然m2，2(Bn)，m2，3(Bn)，m3，3(Bn)的值由圖2中的兩種結構確定．

由(1)式得

(2)

由(1)式得

(3)

結合(2)，(3)式得

(4)

注意到(4)式為一階常系數非齊次差分方程， 顯然其所對應的齊次方程的通解為Eα=C， 這里C為常數． 設Eα′=kn為(4)式的一個特解， 將其代入(4)式可得

故(4)式的通解為

因此， 當n≥2時， 有

圖7 α-鄰五角鏈和α-間五角鏈

證證明方法與定理1完全相似， 不再贅述．

證證明方法與定理1完全相似， 不再贅述．

故由定理1、 定理2、 定理3分別可得下列定理4、 定理5、 定理6．

2 隨機螺旋五角鏈的指標

圖8 螺旋五角鏈SPn 圖9 螺旋五角鏈的兩種局部結構

(5)

定理7設SPn(p3)是一個n長的隨機螺旋五角鏈， 其中n≥2， 則

證當n=2時， 通過直接計算可得

當n>2時，m2，2(SPn)，m2，4(SPn)及m4，4(SPn)的值可由圖9中的兩種結構來確定．

因此由(5)式得

(6)

因此由(5)式得

(7)

結合(6)，(7)兩式得

又因E[En]=En， 應用期望算子可得

(8)

注意到(8)式為一階常系數非齊次差分方程， 顯然其所對應的齊次方程的通解為E=C1， 這里C1為常數． 令E′=sn是(8)式的一個特解， 將其代入(8)式可得

從而(8)式的通解為

故當n≥2時， 有

顯然， 如圖10所示的鄰螺旋五角鏈On就是SPn(1)， 而間螺旋五角鏈Mn就是SPn(0)． 故由定理7得：

圖10 鄰螺旋五角鏈和間螺旋五角鏈