將數學教學演繹成學生心中最美的神話

林松

[摘? 要] 數學教學在于將數學知識的學術形態轉化成合適的教育形態，將教科書的“冰冷美麗”演繹成學生心中最美的神話. 文章通過對“合并同類項”同課異構課例的對比分析，啟示數學教學應注重構建數學知識的教育形態，提升數學知識理解的層次，把握“冰冷美麗”與“火熱思考”的平衡.

[關鍵詞] 合并同類項;教育形態;構建

從先有雞還是先有蛋說起

“雞生蛋，蛋生雞，到底誰先出現在這個世界上？是雞還是蛋？”先有雞還是先有蛋這一因果循環問題，常常激起古代哲學家們去探索并討論生命的起源. 最近，筆者參加了七年級數學“合并同類項”同課異構教研活動，老師們在爭論類似“先有雞還是先有蛋”的問題：先有同類項的概念再合并同類項，還是先合并同類項再有同類項的概念？通過研討，筆者深受啟發，現將其記錄如下.

“合并同類項”同課異構課例簡述

1. 課例1：從同類項的概念到合并同類項

【環節1：情境引入】

（投影生活圖片：超市貨柜上的商品擺放;水果店里的水果擺放;藥店里的藥品擺放;硬幣清點）

問題1 這些物品是怎樣擺放的？為什么要這樣擺放？

學生交流匯報，體會物品分類擺放可以讓我們的生活更加方便！

問題2 如果將這些物品換成我們前面學過的單項式，你將如何分類？

2x2y，-2ab，2x，-3x2y，4ab，6x2y，-x.

學生先嘗試分類，然后交流匯報.

【環節2：建構概念】

問題3 （選擇學生中出現的一種分類）觀察下面的分類，他們的分類標準是什么（每一組單項式具有什么共同特征）？

[2x2y，-3x2y，6x2y -2ab，4ab 2x，-x ]

學生交流匯報，教師板書：所含字母相同，且相同字母的指數也相同.

問題4 下列各組中的兩項具有這些共同特征嗎？

（1）-2a2b和6a2b;

（2）-3mn3和4n3m;

（3）3x2yz和2x2y2;

（4）2x2y和2xy2.

學生判斷并說明理由，師生總結同類項的概念.

【環節3：探索法則】

問題5 圖1是某學校的校園規劃圖（單位：m），試計算該學校的占地面積.

學生嘗試計算并交流：（1）從個體角度計算面積，為100a+200a;（2）從整體角度計算面積，為（100+200）a=300a. 所以可得100a+200a=300a.

問題6 觀察等式“100a+200a=300a”左、右兩邊的差異，你獲得了哪些信息？

學生觀察、思考，交流后匯報：①同類項可以進行合并;②合并時系數相加，字母和字母的指數不變.

師生總結法則：把各項系數相加，字母和字母的指數不變.

問題7 同類項合并的運算依據是什么？

學生討論交流，教師總結：逆用乘法分配律把同類項合并成一項叫合并同類項. 合并同類項時，同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.

【環節4：應用法則】

在應用過程中，總結并強調合并同類項的步驟.

2. 課例2：從合并同類項到同類項的概念

【環節1：問題引入】

問題1 求多項式x+3x+7xy3+3xy3-15xy3的值，其中x=3，y=-2.

學生嘗試直接代入求值，發現要多次計算xy3=3×（-2）3=3×（-8）=-24.

追問1：能不能使解題過程簡潔些？

學生匯報交流：可以將xy3看成一個整體，先算出xy3=-24，再分別代入.

追問2：若將x和y多次賦值，本題應如何解呢？如x=2，y=-;x=-3，y=2……

學生交流后匯報：先計算出xy3=2×

-3=-，再分別代入……

【環節2：合作交流】

問題2 對于問題1，當x和y被賦予不同的值時，怎樣才能又對又快地進行計算呢？

學生小組合作討論，交流后匯報.

匯報1：x+3x應該等于4x，我覺得后面的三項也可以合并起來.

匯報2：7xy3，3xy3，-15xy3中的字母部分完全相同，三個單項式中的xy3部分表示同一個數，于是用“○”表示，那么原式即為x+3x+7○+3○-15○，逆用乘法分配律，可以化簡為（1+3）x+（7+3-15）○=4x-5○=4x-5xy3，接著代入計算. 即先合并，再計算，這樣方便多了. （至此，學生已發現合并同類項的法則）

追問1：為什么可以把x和3x合并處理？7xy3，3xy3，-15xy3為什么也可以合并處理？換句話說，什么樣的項才能“合并”呢？

生答：字母部分完全相同的項才能合并.

追問2：什么叫“字母部分完全相同”呢？

生答：所含字母相同，且相同字母的指數也相同.

追問3：為什么要求字母部分完全相同呢？

生答：因為只有這樣，才能保證字母部分表示同一個數.

【環節3：討論總結】

問題3 把下列式子中可以合并的項盡可能地合并起來，并對解題過程進行討論.

（1）-3x+3y-6x-7y;（2）a2-3ab+6-a2-3ab-5;（3）x2-4xy+xy+3x2;（4）a2b2+3ab-6a2b2-ab-2+3a2b2.

討論、總結的內容如下：（1）哪些項可以合并？判斷標準是什么？（2）怎樣合并？合并的依據是什么？（3）概括并給出同類項的定義和合并同類項的法則.

【環節4：練習鞏固】

“合并同類項”同課異構課例分析

1. 課例1：順應知識邏輯線索

同類項是數與式的紐帶，是體現“數式相通”的開始，也是將單項式進行“分類”的抓手. 建構同類項概念的過程是訓練抽象化、一般化、結構化代數思維的契機，是發展學生數學抽象素養的良好載體. 合并同類項是整式運算的開始，是發展學生數學運算素養的重要載體，同時向學生充分展示了數學的簡約之美.

該課例立足于教材中的數學知識線性邏輯體系和結構（即張奠宙先生所說的數學知識的學術形態），先學習“同類項的概念”，再研究“合并同類項”. 課例從觀察生活中的多種“分類”圖片出發，讓學生體會“分類”讓我們的生活更加方便. 類比的方式，能讓學生思考單項式該如何分類，以及分類的標準是什么. 同時，課例通過類比圖形面積的不同計算方式，讓學生發現同類項可以合并，且有根有據地探索出合并同類項的法則.

（1）優點

該課例根據初一學生的思維特征和認知特點，通過類比的方法，讓學生認識同類項的概念. 教學中，以學生熟悉的生活情境為起點，讓學生帶著學習興趣感受“同一類”的可以歸類（為建構同類項概念做鋪墊）. 在“合并同類項”的教學中，采用“做—感受—明晰法則”的設計，引導學生經歷“從感性到理性”的認識過程，讓學生感受到運算律“支配”下的合并同類項不僅合情，而且合理，數學抽象、理性思維悄然得到落實.

（2）不足

該課例在教學過程中學生會產生困惑. 學習“同類項的概念”時，學生會尋思：為什么要學習同類項的概念？教學“合并同類項”時，學生也會尋思：為什么要學習合并同類項？直到進行多次同類項合并的練習、鞏固之后，學生才會意識到原來合并同類項可以使運算簡潔.

這樣的學習過程，學生不知道為什么要學習“同類項”這一新知，即學生缺乏內化新知的準備. 在教學過程中，學生一直處于被動接受的狀態，他們的學習過程完全在教師精心設計的圈套里被牽著走，缺少了自覺建構的主動參與，這種主體性發展不足的學習不利于學生創新意識和能力的培養.

2. 課例2：再現知識的發現過程

此課例按照知識發生的順序進行設計，立足概念產生的問題背景，恢復原始的思考過程，引發學生的學習興趣，激發學生探究知識的欲望. 課例從研究一個代數式的求值問題引入，讓學生在解決問題的過程中進行思考、創造，在得到“先合并，再代入”的方法后，進一步抽象出同類項的概念，從而再現知識產生的過程，明白“概念是為了解決問題而定義的”這一道理. 而這一切，都是學生主動地、積極地進行探索的結果.

（1）優點

該課例設計樸素，直指數學本質. 它根據學生的認知規律和認知特點，盡可能地將知識的發生過程以問題組的形式設計在學生的“最近發展區”，按循序漸進的原則，環環相扣，引導學生自主發現，實現學生學習的自主建構，體現“再創造”的成功樂趣，讓學習真正發生.

學生對數學知識的理解有三個層次：知其然，知其所以然，何由以知其所以然. 該課例不僅讓學生知道什么是同類項，以及合并同類項的方法、依據，更讓學生知道為什么要學習同類項的概念和合并同類項，能提升學生的數學知識理解層次，能增強學生的數學學習主動性.

（2）不足

該課例讓學生在經歷知識的形成和應用過程中發展數學知識的應用意識和能力，學生理性的思維在該課例中得到了培養. 與課例1相比，該課例缺少了對“同類項的概念”和“合并同類項法則”的感性認識，這樣的教學會讓一部分形象思維能力強而抽象思維能力較弱的學生望而卻步，進而影響數學學習的興趣.

“合并同類項”同課異構課例啟示

張奠宙教授認為，數學知識通常有三種不同的形態：原始形態、學術形態和教育形態. 原始形態是數學家發現數學真理、證明數學命題時所進行的繁復曲折的數學思考. 它反映了數學家分析問題、尋求解答的思維過程，展示了具體問題通過觀察、分析、抽象概括而形成知識和方法的過程. 學術形態是數學家在發表論文時采用的形態，嚴密地演繹，邏輯地推理. 它呈現簡潔的、冰冷的形式化美麗，卻把原始的火熱的思想淹沒在形式化的海洋里[1]. 教育形態是指數學教學時采用的技巧和方法，它重視對數學知識形成過程的“再發現”，把抽象、深奧、難懂的形式化數學知識變成適于學生學習、理解的“通俗化”的數學知識. 通過教師的努力，啟發學生高效地進行火熱的思考. 數學教學的目的在于把數學的學術形態轉化為合適的教育形態，把數學的形式化鏈條恢復為當初數學家發現、創新時的火熱思考，使教科書的“冰冷的美麗”，通過學生的“火熱的思考”，轉化為數學能力和數學素養，從而深刻理解隱藏在“冰冷的美麗”背后的數學本質[2]. 實際教學中，教師應構建數學知識的教育形態，激發學生“火熱的思考”. “合并同類項”教學的兩個課例較好地做了正反對比詮釋.

1. 構建教育形態，提升知識理解的層次

2017亞馬遜年度新銳作家蔡壘磊認為，知識的層次類似于金字塔形狀，知識按照在頭腦中的難易程度可以分成四個層次：信息知識、加工知識、體系知識和智慧（如圖2）. 課例1遵循知識的邏輯線索，將書本“同類項的概念”和“合并同類項的法則”這兩個信息知識以類比情境的方式進行教學，通過生活中物品的分類讓學生理解“同類項的概念”的合理性;通過同一類商品的合并付款讓學生感受“合并同類項”的必要性;通過“做—感受—明晰法則”的設計讓學生自然地進行“合并同類項的法則”的學習. 但這種學習局限在信息知識和初步的加工知識層面，缺乏體系知識的建構.

課例2對同類項相關教學內容的“知識形態”進行了深度加工，形成了極富數學味且利于學生思維培養的教育形態. 它顛倒了教材中形式化的表達順序，讓教材中形式化教學的順序服從知識發現的過程. 學生在進行代數式求值時發現xy3重復代入了，于是會主動地把xy3看成一個整體，用“○”表示，則原式轉化為x+3x+7○+3○-15○，自然引出要合并的需求. 解決問題能讓學生自己發現和探索出要學的知識，教師的任務則是引導和幫助學生進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生. 這樣的教學更加側重于對加工知識和體系知識的學習，目的在于讓學生主動地參與到知識的建構之中，更深入地理解知識的內涵.

2. 構建教育形態，把握“冰冷的美麗”與“火熱的思考”之間的平衡

張奠宙教授指出：“將數學的學術形態轉化為教育形態是數學教師的職責. 我們要研究如何在冰冷的美麗與火熱的思考之間尋找平衡點，做到既有形式的表達更有火熱的思考，而不要淹沒在形式的海洋里. ”[3]本文中的課例都是對教材的二次加工，均屬于數學知識的教育形態. 課例都是基于學生已有的認知，經過對知識的再創造，傳授給學生，并讓學生理解和應用. 只不過課例1更側重于感性認識，而課例2更側重于理性思考. “同類項的概念”和“合并同類項的法則”這兩個信息知識的形式化表達是學術形態的，是“冰冷的美麗”. 教育形態的“火熱的思考”是這樣兩個設計：一，如何對同類項進行定義？二，對合并同類項法則的探索. 與課例1相比，課例2更加側重于解決問題過程中的思考和知識的創造，更加側重于激發學生主動探究的熱情和興趣，能從真正意義上讓“冰冷的美麗”綻放“火熱的思考”，能將數學教學演繹成學生心中最美的神話.

參考文獻：

[1]朱宣傳. 數學知識由“學術形態”向“教育形態”的轉化——怎樣讓學生經歷數學過程[J]. 教書育人，2008（S2）.

[2]周小勤. 讓“冰冷的美麗”綻放出“火熱的思考”——數學教學中學術形態轉化為教育形態的教學策略[J]. 數學學習與研究，2010（1）.

[3]張奠宙，王振輝. 關于數學的學術形態和教育形態——談“火熱的思考”與“冰冷的美麗”[J]. 數學教育學報，2002，11（2）.