高等數(shù)學(xué)信息化教學(xué)模式下微課的實(shí)際運(yùn)用

李海紅 李海霞 呂玉姝

[摘? ? 要] 隨著科技發(fā)展的日新月異，信息化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)已成為教學(xué)模式的發(fā)展趨勢(shì)。信息化教學(xué)模式中微課的應(yīng)用對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的提高非常有益，它打開了高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式的新篇章。

[關(guān)鍵詞] 微課;高等數(shù)學(xué);信息化;教學(xué)

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 17. 085

[中圖分類號(hào)] G642? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? A? ? ? [文章編號(hào)]? 1673 - 0194（2019）17- 0217- 03

0? ? ? 引? ? 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和電子設(shè)備的廣泛應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)逐漸成為學(xué)生獲取知識(shí)的重要途徑，進(jìn)而傳統(tǒng)教學(xué)模式已經(jīng)很難滿足不同專業(yè)的學(xué)生的學(xué)習(xí)專屬需求。而在這種形式下，微課的誕生成為改革傳統(tǒng)教育模式的新力量，成為聯(lián)系學(xué)生、老師、知識(shí)的新的紐帶。高等數(shù)學(xué)是工科院校非常重要的基礎(chǔ)課，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供理論的基礎(chǔ)，其思想和方法對(duì)學(xué)生終身受用。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用微課平臺(tái)，對(duì)高等數(shù)學(xué)信息化教學(xué)改革具有重要的意義。

1? ? ? 如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入微課

1.1? ?應(yīng)用學(xué)習(xí)通平臺(tái)進(jìn)行課前預(yù)習(xí)

在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)新課教學(xué)之前，教師可以利用微課[1-2]將要學(xué)的要點(diǎn)，通過PPT或視頻的模式放在平臺(tái)上，學(xué)生可以應(yīng)用手機(jī)或平板電腦提前預(yù)習(xí)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)。這種方式不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自覺性，也有助于培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。比如，二重積分概念引入時(shí)，就可以在微課中，設(shè)計(jì)曲頂柱體體積問題以及平面薄片質(zhì)量問題來加深學(xué)生對(duì)定積分概念的理解。除此之外，對(duì)于學(xué)生高中階段容易遺忘的內(nèi)容，如反三角函數(shù)以及極坐標(biāo)等內(nèi)容也可以利用微課溫習(xí)。學(xué)生借助手機(jī)等電子設(shè)備來觀看微課進(jìn)行預(yù)習(xí)，可以使學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容大體有個(gè)掌握，進(jìn)而保證在課堂上有的放矢，從而達(dá)到提升課堂效率的目的。

1.2? ?運(yùn)用微課講授知識(shí)點(diǎn)

目前大多數(shù)的工科高等院校所選取的高等數(shù)學(xué)教材分上下冊(cè)，包含有十幾個(gè)章節(jié)，所涉及的知識(shí)較多，但所給予的課時(shí)相對(duì)有限。而每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)以及學(xué)習(xí)能力又不盡相同，所以對(duì)于課堂上講授的知識(shí)，很多的學(xué)生都很難做到當(dāng)天理解和掌握。教師可以通過微課將每一章節(jié)所講授的重難點(diǎn)知識(shí)做成專題訓(xùn)練模塊。如在設(shè)計(jì)函數(shù)的極限以及連續(xù)等模塊的微課時(shí)，可以將函數(shù)極限的計(jì)算、等價(jià)無窮小的概念與兩個(gè)重要極限、函數(shù)的連續(xù)與間斷點(diǎn)以及它的分類等內(nèi)容放在一個(gè)模塊。這樣學(xué)生就可以利用課余的時(shí)間對(duì)微課進(jìn)行觀看學(xué)習(xí)，不僅有利于學(xué)生對(duì)重難點(diǎn)的掌握，而且有利于知識(shí)的轉(zhuǎn)化。

1.3? ?利用微課解答例題

在微課中可以展示學(xué)生集中反映的難點(diǎn)及典型例題的相關(guān)解法，以此來滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)要求。我們可以設(shè)計(jì)典型的例題來歸納函數(shù)極限的不同求法，如一元函數(shù)極限的不同求法、多元不同類型復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法、運(yùn)用拉格朗日因子法解決不同類型實(shí)際應(yīng)用的舉例、指數(shù)跟不同函數(shù)積分的計(jì)算方法、不同類型積分上限函數(shù)求導(dǎo)、在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)形式下計(jì)算二重積分、如何運(yùn)用高斯公式簡(jiǎn)化計(jì)算第二類曲面積分的方法、如何運(yùn)用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算第二類曲線積分的方法、如何判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性等，將這些內(nèi)容所涉及的典型例題做成微課[3]，上傳到學(xué)習(xí)通軟件上，學(xué)生可以根據(jù)自己的薄弱環(huán)節(jié)反復(fù)對(duì)其進(jìn)行學(xué)習(xí)，加深鞏固對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用。

2? ? ? 高等數(shù)學(xué)教學(xué)具體設(shè)計(jì)——以曲率為例

2.1? ?教學(xué)設(shè)計(jì)分析

首先， 我們明確所教授對(duì)象為土木學(xué)院機(jī)械專業(yè)學(xué)生， 根據(jù)他們的入學(xué)成績(jī)和以往的學(xué)習(xí)情況，按照專業(yè)分層次教學(xué)大綱制定高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。講授課程之前，教師可以在學(xué)習(xí)通軟件或其他教學(xué)平臺(tái)發(fā)布高等數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃和提前錄制的相關(guān)教學(xué)視頻，充分獲取相應(yīng)的資源進(jìn)行課前預(yù)習(xí);學(xué)生也可以利用便利的新興網(wǎng)絡(luò)手段提前自主學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，并通過分組討論共同學(xué)習(xí)的方式相互討論找尋解決問題的辦法。本次課曲率概念的引入可以從影響曲率的兩個(gè)因素出發(fā)，一個(gè)是切線的轉(zhuǎn)角，一個(gè)是曲線的弧長(zhǎng)。 通過動(dòng)畫讓學(xué)生能直觀地感受到這兩個(gè)因素對(duì)曲率的影響。由此給出平均曲率的概念，并且再回顧導(dǎo)數(shù)公式的引出為位置函數(shù)的變化率速度，引導(dǎo)學(xué)生給出曲線上任意一點(diǎn)曲率的概念。在設(shè)定目標(biāo)之后，我們就要完善相應(yīng)微課的內(nèi)容。為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，曲率的概念我們需要通過動(dòng)畫引出，首先提問學(xué)生在弧段長(zhǎng)度相同時(shí)，彎曲程度跟切線的轉(zhuǎn)角有什么關(guān)系？（這里可以應(yīng)用學(xué)習(xí)通的隨機(jī)選人功能，答對(duì)加分）類似提問學(xué)生回答在切線的轉(zhuǎn)角相同時(shí)，彎曲程度跟弧度的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？由影響曲線彎曲程度的這兩個(gè)因素，可以得出曲線平均彎曲程度，也就是平均曲率的概念。教師啟發(fā)+提示與學(xué)生一起類比導(dǎo)數(shù)的概念得出曲線上任意一點(diǎn)處曲率的概念，深刻體會(huì)極限和導(dǎo)數(shù)的思想，激發(fā)學(xué)生求知欲和培養(yǎng)學(xué)習(xí)求知精神和成就感。

隨后，教師可以在PPT上給出兩個(gè)生活中的實(shí)例，直線上任意一點(diǎn)的曲率和圓的曲率，讓學(xué)生通過定義可以直接得出結(jié)論，可以得到直線上任意點(diǎn)的曲率為零，圓上任意點(diǎn)的曲率相同為半徑的倒數(shù)。通過實(shí)例同學(xué)們也可以發(fā)現(xiàn)這與我們的現(xiàn)實(shí)是相符合的，直線是不彎曲的，圓的彎曲程度與半徑成反比，半徑越大，彎曲程度越小。

2.2? ?“曲率”知識(shí)點(diǎn)微課的具體內(nèi)容

本課知識(shí)點(diǎn)較多且復(fù)雜， 動(dòng)畫演示立體生動(dòng)，因此，視頻時(shí)間初步設(shè)定為20分鐘。為達(dá)到本節(jié)課的教授的教學(xué)目標(biāo)，解決難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，我們把教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為如下幾個(gè)階段：

2.2.1? ?根據(jù)實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)情境引出課題

為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，對(duì)我們教師而言，在教授過程中我們應(yīng)盡可能的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與他們的生活聯(lián)系起來，讓他們?cè)谏钪杏锰剿鞯难酃庹J(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)。所以本節(jié)的教學(xué)開始，我們從兩個(gè)影響曲率的因素分析引出曲率的概念：

在空軍紀(jì)念日上，我國(guó)空軍組織了規(guī)模龐大的飛行表演，其中最令人震撼的是被譽(yù)為空中蛟龍的殲十出擊。下面我們看一段視頻，回顧一下當(dāng)時(shí)的精彩場(chǎng)景。在觀看精彩的同時(shí)，我們也能深深地體會(huì)到飛行員飛行的艱辛和壓力。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問題，假設(shè)現(xiàn)在你是一名飛行員駕駛者一架戰(zhàn)斗機(jī)先是俯沖向下，然后扶搖向上，飛行的軌跡如視頻展示，你在哪一點(diǎn)處受到的壓力最大？壓力的大小與哪些因素有關(guān)？

我們可以發(fā)現(xiàn)，在最低處壓力最大，壓力的大小與速度有關(guān)，速度越大壓力越大，還跟哪些因素有關(guān)呢？引導(dǎo)學(xué)生思考，可讓學(xué)生舉手搶答，得到還跟飛行的軌跡有關(guān)，曲線彎曲程度越大，壓力越大。

實(shí)際上，在軍事應(yīng)用中，為了保證飛行起飛和降落的安全和高效，航空母艦的飛行甲板也是彎曲的。這些都與曲線的彎曲程度有關(guān)，由此引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容曲率。

因此我們用單位長(zhǎng)度的弧段上的切線轉(zhuǎn)角的大小來刻畫曲線的彎曲程度，由此引進(jìn)曲率的概念如下：

2.2.2? ?經(jīng)典講解例題

隨后，教師可以在PPT上給出兩個(gè)生活中的實(shí)例，求直線上任意一點(diǎn)的曲率和圓的曲率，讓學(xué)生通過定義可以直接得出結(jié)論。可以得到結(jié)論與我們的直覺“直線不彎曲”相一致.，圓上任意點(diǎn)的曲率相同為半徑的倒數(shù)。這與我們的直覺“圓的彎曲程度處處相同，而半徑越小，圓彎曲得越厲害”是一致的。以上給出了曲率的定義式，但是對(duì)于更為復(fù)雜的曲線，定義式不合時(shí)宜，啟發(fā)學(xué)生如果給出曲線的一般式能否有相應(yīng)的計(jì)算公式呢？如此引出曲率的計(jì)算公式。

2.2.3? ?弧微分概念的引出

教師在PPT上動(dòng)畫給出函數(shù)圖像，設(shè)x，Δx 為（a，b）內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們?cè)谇€y=f（x）上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，N ，并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Δx，弧s的增量為Δs（如圖4）于是，有：

2.2.4? ?掌握曲率的計(jì)算并進(jìn)行適當(dāng)延展

教師精選典型例題發(fā)布在學(xué)習(xí)通上，同時(shí)隨機(jī)抽點(diǎn)兩名同學(xué)到黑板上解答，教師也可隨時(shí)檢查學(xué)生在學(xué)習(xí)通上上傳的答案，實(shí)時(shí)檢驗(yàn)所學(xué)效果。

（1）計(jì)算拋物線y=ax2+bx+c上任一點(diǎn)處的曲率，并求出曲率最大處的位置。應(yīng)用學(xué)習(xí)通軟件提問曲率最大處在哪兒？ 為頂點(diǎn)處，與現(xiàn)實(shí)印象相符，加深學(xué)生對(duì)曲率概念的理解。

飛行員俯沖飛行在原點(diǎn)可以看成是做瞬時(shí)的圓周運(yùn)動(dòng)，在原點(diǎn)處對(duì)飛行員進(jìn)行受力分析，受到座椅對(duì)他的支持力和自身的重力，由作用力等于反作用力，支持力就等于飛行員對(duì)座椅的壓力。物體作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)所受的向心力F來自哪兒呢？引導(dǎo)學(xué)生以小組的方式討論得出結(jié)論，并可以派出代表，到黑板上給同學(xué)們進(jìn)行解答。學(xué)生解答更能引起學(xué)生的關(guān)注度，使每個(gè)學(xué)生能參與到課堂中來，解答好的全小組加平時(shí)分獎(jiǎng)勵(lì)，解答不理想的小組其他成員可以補(bǔ)充，這樣可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.2.5? ?變式延伸進(jìn)行重構(gòu)

教師給出開放題目，剛才給出并應(yīng)用的是直角坐標(biāo)形式下的曲率的計(jì)算公式， 現(xiàn)在如果給出曲線是由參數(shù)方程給出的，如何得到計(jì)算公式呢？另外教師也可以適當(dāng)引用一些考研題，適當(dāng)分析引申題目， 重點(diǎn)突出例題的作用，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行的聯(lián)系、消化，從而達(dá)到舉一反三的效果。

3? ? ? 結(jié)? ? 語

為了能夠保證微課在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分發(fā)揮出它的積極有效的作用，作為教師首先就得提前并且時(shí)時(shí)對(duì)高等數(shù)學(xué)中的微課資源進(jìn)行必要的補(bǔ)充和替換，以此保障學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)的不同需求。豐富的微課學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生掌握快捷高效的學(xué)習(xí)方法，也能在體驗(yàn)參與中愉快地學(xué)習(xí)。

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