逐步逼近法計(jì)算LED透鏡

周士康，杜 金，陳春根

(上海三思電子工程有限公司，上海 201199)

引言

計(jì)算LED透鏡的形狀有多種非成像光學(xué)的設(shè)計(jì)方法[1-5]。其中光通量線(以下稱(chēng)LFR)方法[4]可以計(jì)算給定任意照度分布的透鏡，而偏折能力分配法[5]則可以同步計(jì)算多表面透鏡。同時(shí)用這兩種方法是一個(gè)計(jì)算透鏡的優(yōu)秀方法，其計(jì)算步驟如下：

1) 在極坐標(biāo)中把LED光強(qiáng)的空間分布曲線分為n份，但各份的光通量必須相等，分割線的方向就是透鏡的n條入射線的方向，構(gòu)成一個(gè)n維的入射線角度數(shù)列。

2) 因?yàn)槊織l光線光通量相同，像面的照度分布要求可以轉(zhuǎn)換為光線在像面上的分布，從而得到像面上n條光線落點(diǎn)的位置。假定透鏡尺度相對(duì)很小(遠(yuǎn)場(chǎng)條件)，得到n個(gè)出射線方向。也構(gòu)成一個(gè)n維出射線方向數(shù)列。

3) 透鏡出射線和入射線的方向之差稱(chēng)為總偏折角，由求得的上述兩個(gè)序列后可以求得總偏折角序列。設(shè)透鏡表面數(shù)為m，把此n個(gè)總偏折角每個(gè)都按各面的權(quán)重再分到m個(gè)透鏡的表面上，這就得到了(m+1)×n個(gè)角度，也就是得到了每個(gè)面前后的入射角和出射角。

4) 用折射定律對(duì)每個(gè)表面依次計(jì)算各得n個(gè)小線段連成一條折線，共m條折線，構(gòu)成透鏡的m個(gè)表面。當(dāng)n很大時(shí)就是一個(gè)平滑的透鏡表面。圖1為雙面LED透鏡m=60、n=50的示例。

圖1 LFR方法計(jì)算單透鏡

上述LFR方法假定了LED尺度很小，也就是滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件。但如果像面比較近，即LED的尺寸相比照明尺度不是非常小，不能滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件，計(jì)算就會(huì)有誤差。為了解決這一問(wèn)題，我們提出了用于透鏡設(shè)計(jì)的逐步逼近的方法，本文著重?cái)⑹鲋鸩奖平椒ǖ母拍?，具體的公式和程序不在本文中出現(xiàn)。

1 逐步逼近法

1)動(dòng)機(jī)。上述LFR方法在處理一般問(wèn)題時(shí)都符合“遠(yuǎn)場(chǎng)”條件，此時(shí)透鏡上折射點(diǎn)的位置的不同對(duì)像方光分布基本無(wú)影響，我們只需關(guān)心光通量線的方向而不是折射點(diǎn)的位置。但是在“近場(chǎng)”情況下，光線在透鏡上的位置會(huì)影響照明的結(jié)果。近場(chǎng)問(wèn)題的處理應(yīng)該用光線在表面上的位置來(lái)表征。但這對(duì)透鏡形狀的計(jì)算卻帶來(lái)很大的困難。其原因在于折射定律擅長(zhǎng)的只是求解介質(zhì)表面的方向和折射線的方向之間的關(guān)系。在許多領(lǐng)域的實(shí)際工作中，求解的方程十分復(fù)雜或者是無(wú)法直接求解時(shí)往往可以使用逐次逼近的方法[6]，此法在大量實(shí)際問(wèn)題中都得到了廣泛的應(yīng)用。由此我們想到，如果能把這種逼近法的思想用到LED透鏡的計(jì)算中，也許可以解決原來(lái)解決不了的求解問(wèn)題。本文的結(jié)果說(shuō)明這是可以做到的。

2)可行性。處理近場(chǎng)問(wèn)題的困難在于已知LED發(fā)出的入射光線的方向和像面的落點(diǎn)無(wú)法解得透鏡的形狀。但如果能夠嘗試性地給出出射方向就可以解得初始的形狀。于是我們提出先給定一個(gè)嘗試平面作為透鏡的最后一面，并給定該面上各光線的嘗試折射點(diǎn)，再按照度分布要求給定LFR在像面的落點(diǎn)，這就可以得到出射光線的嘗試方向，這樣就可以用原有的LFR方法計(jì)算得到初始透鏡形狀。然而再逐步修正透鏡使之逐漸滿足“落點(diǎn)”的要求。經(jīng)過(guò)多次逼近計(jì)算，可以得到符合折射定律和落點(diǎn)要求的透鏡形狀。本文的結(jié)果說(shuō)明這是可行的方法。

3)難點(diǎn)。這個(gè)方法的難點(diǎn)是如何給出下一次逼近的光線方向。對(duì)此我們用最為簡(jiǎn)單的方法很好地解決了這個(gè)問(wèn)題。就是簡(jiǎn)單地把嘗試計(jì)算得到的新的折射點(diǎn)到目標(biāo)落點(diǎn)的方向作為下一次計(jì)算的方向。

2 逐步逼近法計(jì)算LED透鏡的步驟

2.1 計(jì)算入射LFR角度序列

考慮一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)單透鏡，平面像面、均勻照度分布、極少的光線(n=8)。此例并非某個(gè)實(shí)際設(shè)計(jì)的例子，只是為了形象地說(shuō)明逼近計(jì)算方法而設(shè)定的。

設(shè)LED位于坐標(biāo)原點(diǎn)，透鏡前表面中心在A點(diǎn)(x=10 mm)，后表面在B點(diǎn)(x=30 mm)，弧形像面中心在C點(diǎn)(x=70 mm)，見(jiàn)圖2。

圖2 LED的LFR及光線目標(biāo)落點(diǎn)

按照LRF方法，首先需要求得LED發(fā)出的光線的方向序列，這些光線攜帶相同的能量。由于照度正比于單位面積上的光通量，而光通量正比于光強(qiáng)與立體角的乘積，因此光強(qiáng)分布曲線對(duì)總光束角的積分的值將正比于總光通量。根據(jù)這一規(guī)律，可以把LED發(fā)出的光能按照攜帶的光通量相等而分成8份(以n=8為例)，即把光強(qiáng)分布曲線對(duì)總光束角的積分的值分成8等份。它們的角度間隔就是9條具有相同能量的LFR的方向，這便是透鏡入射線方向序列。示意性的結(jié)果見(jiàn)圖2左部原點(diǎn)出發(fā)的9條光線簇，大致可以看到這里是大光強(qiáng)處光線密度大，小光強(qiáng)處光線密度小,符合光強(qiáng)空間分布規(guī)律。LFR計(jì)算的具體方法[4]在此不詳述。

2.2 設(shè)定像面和光線落點(diǎn)

由于LFR是帶有相同能量的光線，因此像面的光線落點(diǎn)的密度分布決定了像面的照度分布，這就不難根據(jù)事先給定的照度分布求得LFR的落點(diǎn)沿像面的分布。

在照度均勻分布的情況下，只要將位于D處的被照明平面均勻分成8份即可得到9個(gè)落點(diǎn)，得到圖2所示的9個(gè)小圓形分割點(diǎn)。

對(duì)非均勻照度分布時(shí)，可以事先給定照度分布函數(shù)，再按照落點(diǎn)的密度正比于照度的原則來(lái)劃分。

2.3 設(shè)置嘗試平面及嘗試折射點(diǎn)

這是逐步逼近法的重點(diǎn)。在透鏡的后表面位置C點(diǎn)即x=30處給定一個(gè)任意長(zhǎng)度例如70 mm的垂線，代表嘗試平面直徑。在這個(gè)垂線上任意給定9個(gè)小圓形試探折射點(diǎn)。

圖3 入射和出射的LFR角度序列

把圖3中C平面和D平面上的9×2個(gè)小圓一一相連，連線(圖3中的點(diǎn)劃線)的方向代表光線從LED最后一個(gè)表面出發(fā)方向，構(gòu)成了透鏡出射線方向序列。這樣就得到了透鏡的入射線和出射線兩個(gè)嘗試角度序列。

有了這兩個(gè)角度序列，我們就可以用LFR的方法進(jìn)行計(jì)算求得透鏡的形狀了。對(duì)于單透鏡的情況，設(shè)兩面的折射能力相等，則可求得上兩個(gè)角度的平均值，就得到第三個(gè)角度序列，那就是在透鏡內(nèi)部的光線角度序列(圖3中沒(méi)有畫(huà)出這一個(gè)序列)。有了這9×3個(gè)方向，我們就可以順序用折射定律計(jì)算得到透鏡前后表面共8×2個(gè)小面的角度和位置，結(jié)果得到了一個(gè)彎月形的透鏡，見(jiàn)圖4的粗實(shí)線。

圖4 第一次計(jì)算結(jié)果和修正角度

2.4 逐次逼近法計(jì)算透鏡形狀

可以看到，第一次循環(huán)后試探平面自動(dòng)變成了曲面，從其上的折射點(diǎn)發(fā)出的光線(實(shí)線)的確和試探方向(點(diǎn)劃線)精確平行(這正是LRF方法的結(jié)果)，但是卻沒(méi)有射向希望的落點(diǎn)。實(shí)際落點(diǎn)與目標(biāo)落點(diǎn)之差最大達(dá)13.6 mm。逐步逼近法可以迅速縮小這一偏差，但如何選擇下一次計(jì)算的修正量是逼近法成功與否的關(guān)鍵。

我們的解決方法是簡(jiǎn)單地用第一次計(jì)算得到的透鏡后表面的光線落點(diǎn)和希望的像面落點(diǎn)(圖3中D面的小圓形)的連線(圖3中虛線)作為第2次計(jì)算的像方光線的方向，進(jìn)行第2次計(jì)算，第2次計(jì)算結(jié)果如圖5所示。這時(shí)，實(shí)際的光線落點(diǎn)和希望落點(diǎn)之差Δmax=0.14 mm，比第一次的結(jié)果縮小了約100倍。

圖5 第二次計(jì)算結(jié)果

繼續(xù)上述計(jì)算，在本例中經(jīng)過(guò)4次逼近計(jì)算后就得到了理想的結(jié)果，如圖6所示，最大誤差僅為Δmax= 0.003 mm。

圖6 最終結(jié)果

增加LFR的數(shù)目，如n=40，5次循環(huán)后的結(jié)果如圖7所示。這時(shí)Δmax=0.005 mm，曲線也較為平滑了。實(shí)際設(shè)計(jì)中一般n的值為200左右就可以得到可以用于加工的平滑的表面。

圖7 n=40時(shí)的計(jì)算結(jié)果

以上用直觀的圖形較清晰地給出了本方法的內(nèi)容，方法中完全不涉及復(fù)雜的微分方程等計(jì)算，這就不難編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。

實(shí)踐表明，試探面的形狀、大小和其上的落點(diǎn)的位置分布的寬容度很大，即使初始給出的是一個(gè)非平面的嘗試表面和非均勻的嘗試點(diǎn)分布，用逐步逼近法都將趨向于同一個(gè)結(jié)果。

3 非均勻照明的逼近法設(shè)計(jì)

以上的例子是均勻照度分布。對(duì)于非均勻照度分布，只要給出像面照度分布函數(shù)也可以進(jìn)行計(jì)算。例如，給定一個(gè)中心照度小而邊緣照度大的正弦函數(shù)分布a+b·sin(x+c),其中a=31、b=30、c=-90°，其照度分布函數(shù)如圖8所示。

圖8 正弦函數(shù)給定為像面照度分布

計(jì)算得其透鏡形狀和LFR分布為圖9所示。其光線落點(diǎn)的密度沿弧面的分布是按圖8的正弦分布由中心向邊緣變大。

圖9 按照事先給定照度分布的計(jì)算結(jié)果

對(duì)于其他類(lèi)型的照度分布，只要給出分布函數(shù)，可以套用上面的方法。好在實(shí)際的工程中都不需要用復(fù)雜的照度分布，因此給出函數(shù)也不是難事。

4 被照面為非平面的逼近法設(shè)計(jì)

考慮到在近距離照明中有時(shí)會(huì)遇到像面不是平面的情況，用平面代替弧面必然會(huì)帶來(lái)誤差，而用我們的逼近方法計(jì)算卻可以容易地處理非平面像面的問(wèn)題。

被照明面是一個(gè)曲面并沒(méi)有給我們的計(jì)算帶來(lái)任何困難。只要在這個(gè)曲面上按照照度分布的要求求得一個(gè)個(gè)光線的落點(diǎn)的坐標(biāo)就可以了。唯一的困難是在數(shù)學(xué)上描述這個(gè)曲面，實(shí)際工作中這也不是難事。

以下用一個(gè)球表面均勻照度分布為例。假定其圓弧可以用下列參數(shù)方程表示：

x(x0,R,t)=x0+R·cos(t)，y(y0,R,t)=y0+R·sin(t)

其中圓心的坐標(biāo)為(x0,y0)，R為半徑，t為輻角。

在本例中，被照明面是中心在C點(diǎn)(x=70 mm)，半徑為130 mm的凸弧形表面，圓心在x=200 mm，y=0。

將此弧面均分42份，得到圖 10所示的43個(gè)分割點(diǎn)。若希望非均勻照度分布，則需要按照落點(diǎn)密度正比于照度的原則求得落點(diǎn)位置。

圖10 非平面的被照明面

對(duì)一個(gè)可以用參數(shù)方程表示的二次曲面，逼近方法同上。其他形狀也是用參數(shù)方程表示方便。

5 多透鏡的逼近法設(shè)計(jì)

圖11 LFR方法計(jì)算雙透鏡

LRF方法中計(jì)算多個(gè)透鏡的方法同樣可以用在本方法中。某些LED透鏡若做成雙透鏡會(huì)比單透鏡更為合適[5]。SSWYD-800型無(wú)影燈[7]有一款透鏡就做成了雙透鏡。其光線較少時(shí)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖11。為了顯示清楚些，圖形用了n=20的計(jì)算結(jié)果。圖11為無(wú)影燈的工作距離為1 000 mm時(shí)，用文獻(xiàn)[7]的總體設(shè)計(jì)方法，用逐步逼近法同步計(jì)算的LED無(wú)影燈的雙透鏡四個(gè)面的計(jì)算結(jié)果。我們也用文獻(xiàn)[4]的方法按遠(yuǎn)場(chǎng)條件進(jìn)行了計(jì)算，得到結(jié)果一致，這是因?yàn)榇藭r(shí)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件了。

6 結(jié)論

我們用逼近法計(jì)算LED自由曲面透鏡，從建立一個(gè)虛擬的嘗試表面并給定嘗試點(diǎn)出發(fā)，給出了修正計(jì)算的方法，進(jìn)行多次循環(huán)計(jì)算，避開(kāi)了求解方程等復(fù)雜的問(wèn)題，不但可以得到很高的計(jì)算精度，還具有快速的收斂速度。

從計(jì)算的角度看，本文的方法實(shí)際上解決了一個(gè)從“方向”轉(zhuǎn)為計(jì)算“落點(diǎn)”的問(wèn)題，以前是由計(jì)算光線方向來(lái)求透鏡形狀[4，5]，而現(xiàn)在近場(chǎng)問(wèn)題則是要由計(jì)算光線落點(diǎn)來(lái)求透鏡形狀。

逼近法把計(jì)算透鏡的LFR方法擴(kuò)展到既可以用于近場(chǎng)計(jì)算，又可以用于遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算，既可以計(jì)算平面像面又可以計(jì)算非平面像面。同時(shí)逼近法保留了原方法的幾個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)，如可以用于非均勻的照度分布或事先給定的任意像面照度分布的計(jì)算，以及同步計(jì)算雙透鏡系統(tǒng)。這給LED透鏡二次光學(xué)設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便。

7 討論

1)設(shè)想被照明面位于x=1 000 m遠(yuǎn)處，則其上1 mm的落點(diǎn)位置誤差其角度差別只有0.0001°，可以讓程序使用12位有效數(shù)字，角度精度可以非常高，則即使多次運(yùn)算也不會(huì)帶來(lái)有影響的誤差。圖11說(shuō)明本方法在非近場(chǎng)的情況同樣適用。

2)新方法的必要條件還在于這種逼近能否收斂。實(shí)際工作證明此法可以收斂，而且收斂速度快，我們計(jì)算的多個(gè)例子都是循環(huán)次數(shù)在10以下時(shí)計(jì)算誤差小于0.001 mm。

3)逐步逼近方法可以推廣到其他難以一次性直接計(jì)算的問(wèn)題中去，如一個(gè)面既有反射又有透射的LED照明系統(tǒng)[8，9]。此時(shí)，一般方法難以求解得到曲面的形狀，但逼近法可以計(jì)算得到。