一種基于二次分配的測試性指標分配方法

楊鵬，謝皓宇，邱靜

國防科技大學 智能科學學院 裝備綜合保障技術重點實驗室，長沙 410073

測試性是裝備通用質量特性之一，測試性指標分配是開展裝備測試性工程的首要工作，只有將裝備頂層的測試性指標逐步分配給其分系統、設備等較低層次，才能將測試性要求逐步落實到各層級的測試性設計中去。

通用質量特性(可靠性、維修性、安全性、測試性、保障性和環境適應性)指標的分配可以采用多種方法，如最簡單的方法是等分法，即將上一級的指標平分給下一級，只要下一級產品能夠實現其分配的指標，上一級產品即可實現其指標。但為了裝備測試性設計更容易實現、設計實現技術風險更小，往往在指標分配時考慮多種因素，如測試性技術較成熟的可多分一些指標，否則少分一些。

國外對測試性分配方法做了大量研究，主流方法是故障率分配法、加權分配法和綜合加權分配法[1]，其基本思想是按照各單元的分配權重(如故障率、重要度、測試難易程度等因素)來構造分配函數，然后利用該函數來計算各單元的指標，這些方法統稱為函數分配法。針對多個影響因子如何科學量化的問題，國內外學者還研究了基于層次分析法的分配方法[2-4]。

另一類指標分配方法是優化分配法，其基本思想是構建一個融合多影響因素和多約束條件的優化分配模型，然后采用遺傳算法等優化算法來獲得最優分配結果[5-11]。

上述分配方法適當改進后亦可用于可靠性和維修性指標分配。指標分配問題是目前國內外研究的熱點[12-23]。

目前在工程實踐中大多采取上述方法之一實施一次性分配，沒有反饋迭代。這樣的分配方式難以保證各組成單元均能分到合適的測試性指標。如某在研飛機采取一次分配，經過首輪測試性設計和分析發現，不少單元指標分配過高，承研單位付出極大代價也難以滿足要求，對此業內普遍認為必須采取多次分配，以得到既滿足系統指標要求，又兼顧各單元設計水平的指標分配結果。然而這又帶來新的問題：① 應采取多少次分配；② 每次分配采取哪種分配方法；③ 每次分配之間如何實現數據的反饋迭代。

針對上述問題，本文提出一種基于二次分配的測試性指標分配方法，分別針對初次分配和再次分配中存在的問題進行理論分析，提出解決對策和方法，最后進行仿真和實例應用，驗證方法的有效性和先進性。

1 二次分配法的技術流程

二次分配法的技術流程如圖1所示。

步驟1在開展設計之前，利用有限數據實施初次分配，將總指標分配給組成單元。

步驟2依據初次分配指標對各組成單元實施測試性初步設計，包括：選擇測試項目，依據故障傳遞和測試點布局情況，構建測試性模型，基于模型實施單元測試性指標預計。該步驟的具體方法見文獻[1]。

步驟3收集單元測試性指標預計結果、技術成熟度和指標實現成本等數據，判斷是否需要再次分配。如需要，則實施再次分配；如不需要，則將初次分配的指標作為單元指標。

兩次分配存在的問題和對策研究見2.3節。

圖1 二次分配的技術流程圖Fig.1 Flowchart of quadratic allocation

2 初次分配中的問題與方法

2.1 分配模型與問題分析

測試性分配問題在數學上可描述為

γi=f1(λi) 1≤i≤N

(1)

γs=f2(γ1,γ2,…,γN)

(2)

0≤γi≤1

(3)

γsr≤γs≤1

(4)

式中：式(1)為分配函數，γi為第i個單元的分配指標；N為系統組成單元數目；λi為第i個單元的故障率，是分配函數的自變量，若采用加權分配法，則用分配權重因子Wi代替λi；式(2)為驗算函數，γs為由各單元的分配指標綜合計算得到的總指標，故障檢測率的驗算式見式(10)；式(3)為邊界條件；式(4)為閉合條件，即由分配指標再綜合得到的總指標γs不低于要求 (待分配)的總指標γsr，分配后必須檢驗所分指標是否滿足式(4)，稱之為指標的閉合性驗證。

理論上，初次分配可以采取上述任意一種現有分配方法。但由于初次分配時裝備通常處于研發早期，產品尚未開始設計，既無實際的故障率數據，亦無其他可用于指導分配的數據，可能僅有分配的故障率數據或相似產品的故障率數據，因此初次分配只能選擇等分法或故障率分配法。而后者能體現各單元指標差異，更好地指導單元設計，如在初次分配時能夠獲取單元故障率數據，則應盡量采用故障率分配法。

然而經典故障率分配法會出現分配結果大于1，即不滿足式(3)的情況，須進行算法改進。

2.2 初次分配函數的推導

經典故障率分配法出現異常結果的本質原因是因為其采用了線性分配函數[1]，沒有體現測試性指標提升的一般規律，即：對于測試性水平低的單元，通過改進設計提升其指標相對容易；而對于測試性水平已經較高的單元，進一步提升指標則相對困難。因此，對于分配權重(故障率)較低的單元，不應分配過低的指標，而應分配一個相對值較低而絕對值不低的指標；對于分配權重較高的單元，應分配相對值較高而絕對值不能太高(如逼近于極限值1)的指標。綜上，分配函數不應是線性的，而應為一個上凸的拋物線型函數，即單調遞增，且增速減緩(一階導數單調遞減)的函數。

令分配函數為

γ=f(λ)

(5)

式中：γ為分配的測試性指標，據分析，f(λ)應滿足以下規律:

可構造滿足規律2的冪函數，即

(6)

式中：A、B、C和θ均為區間(0,+∞)內的常數。不妨取θ=2(可以證明，當取其他數值時，無法同時滿足兩個規律)，再對式(6)取積分得

(7)

(8)

至此，得到測試性分配函數的一般表達式，這是一個反正切函數，α為一個待定的未知量，它的取值必須使各單元的分配指標滿足式(4)。

2.3 初次分配算法設計

依據式(8)，可得故障檢測率的分配函數為

(9)

故障檢測率的驗算式為

(10)

給定要求達到的總的故障檢測率為γFDsr，將其與式(10)代入式(4)，有

(11)

將式(11)取等號，代入其他參數，采用數值方法可計算得到α的最小值αmin，本文采用MATLAB的fsovle(·)函數求解得到αmin。

再將αmin代入式(9)，即可得到各單元分配的故障檢測率指標。故障隔離率指標的分配函數可依據其定義照此方法類推得到。

同理可構建滿足上述規律的指數分配函數：

(12)

式中：ω為待定參數，其滿足ω∈(0,1)，參考上述方法可計算得到ω的最大值ωmax，將其代入式(12) 即可得到滿足條件的單元分配指標。

2.4 仿真算例

應用文獻[1]中的案例進行對比分析。該案例由5個單元構成，待分配的指標為γFDsr=0.95。應用4種方法進行分配，分配結果見表1。

方法1為反正切函數分配法，αmin=0.807 5，其分配結果分布在0.88～0.96之間，滿足式(3)，且隨著故障率變大，分配指標增幅逐漸減小。

方法2為指數函數分配法，ωmax=0.950 9，其分配結果分布在0.77～0.99之間，比方法1的分布區間大，這是因為指數函數的變化速度比反正切函數大。雖然拉開了各單元指標的差距，但會導致故障率大的單元指標趨近于1，實現難度增大。因此從指標實現角度來看，反正切函數分配法比指數函數分配法更實用一些。

方法3為經典故障率分配法，單元LRU1和LRU2分配的指標僅為0.277 8，LRU4分配的指標到達到1.394 0，這些指標都是不合理的，可見經典故障率分配法的實用性較差。

方法4為綜合加權法分配法，其采用多因素(故障率、故障影響、修復時間、診斷難易度、診斷成本)綜合加權，加權數據見文獻[1]，此方法還需指定分配指標的上限，如本例中指定分配指標上限為0.98。可以看出，由于采取多因素綜合加權，分配權重差距縮小，同時限定指標上限，避免了分配指標超過1的情況，但它仍是一種線性分配函數(綜合權重的線性函數)，而且分配權重因子和分配上限的確定帶有主觀性。

表1 初次分配的仿真案例Table 1 Primary allocation of simulation case

經驗算，由4組分配結果綜合計算得到的總指標依次為0.950 0、0.950 0、0.967 7、0.950 0，均不低于要求的總指標0.95，通過閉合性驗證。

除閉合性驗證外，還需進行可實現性驗證，即考察所分配的指標是否能夠設計實現，這需要結合實際設計反饋來驗證，后文將給出可實現性驗證方法。

圖2給出了以上4組分配方法的結果對比圖。可以看出：經典故障率分配法得到的分配結果與故障率呈一條直線，故障率最大的單元很容易超出分配上限；綜合加權分配法、反正切函數分配法和指數函數分配法所得到的分配結果均與故障率呈非線性關系；綜合加權分配法與反正切函數分配法分配結果最接近。

考慮到反正切分配法所需的數據少于綜合加權分配法，而分配結果相近，因此該方法更加簡單實用。其他分配方法，如加權分配法、基于層次分析法的分配法以及優化分配法雖未與反正切分配法進行比較，但通過類比分析可知，用這些方法得到的結果應與綜合加權分配法差別不大，且所需數據與綜合加權分配法相近。因此，可以認為本文提出的反正切分配法優于現有方法。

圖2 4種分配方法的結果對比Fig.2 Results comparison among four allocation methods

3 再次分配中的問題與方法

3.1 問題分析

再次分配需要解決的問題是：① 如何判斷初次分配是否存在指標偏高/偏低情形，以及確定哪些單元指標偏高/偏低；② 采取哪種方法實施再次分配。

對于問題①，再次分配的時機可選在測試性初步設計之后，此時可依據初步設計結果來判斷初次分配指標是否偏高/低，定義如下參數。

事實上，在滿足式(4)的前提下，單元指標修正的一般規律是：不可能全部提高或全部降低，必然是有的降低、有的提高，或者全部不變，這是一個相對的調整過程。據此再定義如下參數。

定義2單元測試性指標實現相對難度系數，記為σk，其計算方法為

(13)

式中：Wk為單元k的測試性技術成熟度，其數值越大則實現單元所分指標的技術難度越低；Ck為實現單元所分指標的預計成本，其數值越大則指標的實現難度越高；M為平均難度系數，其計算方法為

(14)

對于問題②，再次分配可采取以下兩種方式實施：① 基于此時已有的數據，如故障率、測試難易程度、測試成本等，采用已有方法，如綜合加權分配法或優化分配法再分一次指標；② 對初次分配的指標進行針對性的、局部的修正。第①種方式固然可行，但考慮到第②種方式更能體現兩次分配之間的迭代關系，且修正的方式對指標偏高/低單元更具有針對性，故本文選擇后一種方式。

首先基于指標預計結果判斷是否需求進行修正。若對?k，都有εk≤0，則說明所有單元初步設計結果均滿足初次分配的指標，此時無需修正；否則，需要進行修正，修正策略如下：

定義3指標修正函數，記為g(x)，其變量x=σk,g(x)滿足:

(15)

下面推導g(x)及其邊界條件。

3.2 修正函數的推導

(16)

顯然g(x)與初次分配函數f(λ)的規律相似，故參考2.2節的推導方法，可得到

g(x)=Darctan(βx)

(17)

將式(16)代入式(17)，可得

(18)

3.3 再次分配算法設計

將式(17)，x=σk代入式(15)，得到

(19)

參數β的計算方法如下：根據式(4)，有

(20)

3.4 仿真算例

再次應用文獻[1]中的案例，給定單元測試性指標實現相對難度系數(見表2第4列)，應用上述方法計算得到分配結果(見表2第5列)。

表2 二次分配的仿真案例Table 2 Secondary allocation of simulation case

可以看出：單元1和單元4的相對難度系數為正，所以其指標下調；單元3和單元5的相對難度系數為負，所以其指標上調；單元2的相對難度系數為0，所以指標不變；調整結果符合指標修正的一般規律。此外，從閉合性驗算結果來看，兩次分配的綜合指標均為0.95，通過閉合性驗證。

4 實例應用

下面以某案例系統對本方法進行演示驗證。該系統由自動飛行控制計算機、自動飛行控制裝置、駕駛柱回傳作動器、駕駛盤回傳作動器、腳蹬回傳作動器、主飛控計算機、慣組系統、飛行管理系統和大氣數據計算機共9個單元組成。

采取圖1所示步驟實施分配。首先進行初次分配，此時案例系統尚處于方案階段，僅已知待分配的故障檢測率指標為0.95，以及經可靠性分配得到的單元故障率數據(見表3第2列)。

鑒于可用數據有限，故采用反正切函數分配法實施初次分配，利用式(11)計算得到αmin=0.255 2，代入式(9)計算得到各單元指標(見表3第3列)。該結果經閉合性驗證滿足式(4)。

然后，依據初次分配的指標實施測試性初步設計，包括單元失效模式與影響分析(FMEA)，單元測試選擇等，據此應用測試性建模分析軟件構建系統測試性模型，如圖3所示。

應用該軟件進行測試性指標預計，得到各單元的故障檢測率預計值(見表3第4列)，可以看出各單元均未達到初次分配的指標。而且在設計中發現各單元實現測試的難易程度不同，于是對各單元的測試技術成熟度和測試成本進行評分，再利用式(13)計算得到各單元相對難度系數(見表3第5列)。

應用本文第4節方法實施再次分配，利用式(20) 計算得到βmax=0.000 5，將其代入式(17)計算得到各單元指標(見表3第6列)，該結果經閉合性驗證也滿足式(4)。

可以看出，自動飛行控制裝置和3個作動器實現初次分配指標的難度較大，其相對難度系數均為50，所以再次分配的指標均得到不同程度的下調，4臺計算機和慣組系統的相對難度系數為-40，所以再次分配的指標得到上調，這樣系統總的指標得以滿足，且符合指標修正的一般規律。雖然各單元最終分得的指標均高于單元預計結果，但由于修正過程綜合考慮了單元技術成熟度和成本因素，所以相對而言是合理的。

表3 案例系統測試性指標二次分配Table 3 Quadratic allocation of the actual case

圖3 真實案例系統測試性模型Fig.3 System testability model for actual case

最后，對分配的指標進行可實現性檢驗。定義E(i)描述分配指標的可實現性，其計算式為

(21)

由于本案例系統尚未最終完成測試性設計，故將各單元預計可達到的指標代替最終設計達到的指標，代入式(21)計算得到E(1)=1.072 0,E(2)=1.049 4，二者相比可見再次分配的指標比初次分配的指標更趨緊于預計的單元指標，據此初步判定再次分配的指標實現性更好，即二次分配優于一次分配。

5 結 論

針對目前測試性指標采取一次性分配，缺乏必要的反饋和迭代的問題，提出了一種基于二次分配的測試性指標分配方法，通過指標可實現性驗證，該方法優于一次性分配方法。

針對初次分配，提出了一種基于反正切函數的分配法。仿真計算表明，該方法僅利用故障率數據，就得到了與利用多種數據的綜合加權分配法幾乎相同的分配結果，顯著優于僅使用故障率數的經典故障率分配法，證明該方法較為合理，且簡單實用。

針對再次分配，提出了一種基于單元相對難度系數的修正函數，對指標偏高/偏低的單元實施局部修正。實例計算表明，經過修正后的指標不僅滿足閉合性條件，而且指標可實現性顯著優于初次分配的指標。