基于裂紋擴展脆性巖石動力壓縮力學特性研究*

李曉照，戚承志

（1. 北京建筑大學土木與交通工程學院，北京 100044；2. 北京未來城市設計高精尖創新中心，北京 100044）

動力壓縮荷載作用脆性巖石力學特性的研究，對于深部地下工程圍巖受到地震、沖擊及爆炸荷載作用下的穩定性分析有著重要的意義。關于應變率對巖石力學特性影響的研究，對于巖石動態力學性能分析有著重要價值。眾多學者，通過開展霍布金森桿動力試驗，研究了不同應變率下巖石的應力-應變本構曲線、巖石動態強度、動態破壞形態等特性[1-4]。也有學者研究了在恒定軸壓與圍壓作用下，巖石承受循環重復沖擊荷載作用下的力學性能[5-7]。

在這些試驗研究的基礎上，許多理論模型被提出。曹文貴等[8]通過將非線性動態強度準則與統計損傷理論相結合，建立巖石動態統計損傷本構模型，并根據試驗結果確定模型參數，計算分析了高應變對巖石動態本構關系的影響。李夕兵等[9-10]將統計損傷模型和黏彈性模型相結合，提出了中應變率作用下巖石動載本構模型，并分析了重復沖擊荷載作用下巖石的動力特性。謝理想等[11]基于巖石動態強度理論模型、連續損傷理論及Bingham 模型，蔡燦等[12]基于Maxwell 模型、Bingham 模型及孔隙度損傷模型分別建立了不同組合模型，研究了巖石應變率相關的應力應變本構關系。戚承志等[13-14]基于熱活化機制與宏觀黏性機制，研究了應變率與巖石強度之間關系，并分析了動態荷載作用下巖石破壞塊度分布物理機理。趙堅等[15]、馬林建等[16]基于動態試驗結果并結合摩爾庫倫及霍克布朗強度準則，提出了應變率相關的動態強度準則。宮鳳強等[17]基于巖石從低到高應變率范圍內的率效應試驗結果，建立了一種基于率效應動態增強因子統一模型，探討了應變率對壓縮強度、切線模量和峰值應變的影響。以上均是通過宏觀現象研究了巖石動態變化特性，無法解釋動態荷載作用下，巖石內部細觀裂紋機理變化特性。

岑奪豐等[18]通過細觀顆粒平行黏結模型的模擬，研究了高應變率壓縮作用，單裂隙巖樣的損傷演化及細觀位移場，結果表明不同高應變率對巖樣最終破裂形態影響不大，但隨應變率的增大，細觀裂紋越多且局部化程度越強。潘紅宇等[19]通過用數字圖像處理技術，分析了不同應變率下單軸壓縮下巖石表面裂隙擴展下的應變場變化特征，然而該研究只是分析準靜態壓縮荷載作用下的裂紋特性，沒有研究動態荷載下巖石裂紋擴展特性。劉紅巖等[20]將基于巖石動態損傷TCK 模型與基于斷裂損傷理論推出的節理巖體損傷本構模型相結合，提出了一個考慮裂紋節理幾何特性的巖體動態損傷本構模型。

然而對能夠建立脆性巖石內部細觀動態裂紋擴展與宏觀動態應力-應變本構關系的理論模型研究較少。本文中，將準靜態壓縮荷載作用下裂紋擴展誘發的應力應變本構關系模型、基于裂紋與應變關系得到的裂紋速率與應變率關系及裂紋速率與斷裂韌度關系相結合，提出了一個基于細觀裂紋擴展作用下的動態應力應變本構關系模型，并討論巖石應變率、初始損傷、圍壓及模型參數對應力應變關系曲線的影響。

1 理論模型

1.1 準靜態裂紋擴展應力-應變關系

本文中提出了一個動態壓縮荷載作用下，基于巖石內部裂紋擴展誘發的應力-應變本構關系模型（見圖1），模型中各項參數詳見下面關于模型理論公式的敘述。該模型是由準靜態作用下裂紋擴展模型，與動態裂紋擴展與準靜態裂紋擴展關系，及新建立的裂紋擴展速率與應變率關系相結合而提出的。在該模型中，當不考慮動態裂紋擴展作用時，模型內部準靜態裂紋擴展與承受應力狀態（軸向應力σ1、圍壓σ3）之間的關系可以表示為[21]：

圖 1 動態壓縮荷載作用下的裂紋擴展模型Fig. 1 Crack growth model under dynamic compressive loadings

此外，低圍壓脆性巖石宏觀軸向應變ε1與細觀裂紋擴展長度l 間的關系可表示為[22]：

式中：m、ε0分別為材料常數。

將式(7)代入式(1)，裂紋擴展下（即l＞0），巖石準靜態應力-應變本構關系可表示為[22]：

式中：

此外，當裂紋長度l=0 時，基于式（1）和（7），巖石軸向起裂應力σ1c和裂紋起裂應變ε1c可以分別表示為：

假設巖石內部裂紋擴展前（即0＜ ε1＜ε1c），巖石服從線彈性變形，則應力-應變關系可表示為：

因此，綜上所述，準靜態荷載作用下，巖石完整的應力-應變本構關系可以表示為：

將裂紋極限長度llim代入式（7），巖石極限軸向應變ε1f可以表示為：

該極限應變對巖石失效應變提供一定參考。

1.2 準靜態裂紋擴展與動態裂紋擴展的關系

式中：vl為裂紋速度（即dl/dt），vm為裂紋分叉速度，vm=RcR，該速度隨著材料柔度增加而減小，瑞利波速cR= [E/(2ρ(1+ν))]1/2(0.87+1.12ν)/(1+ν)，cp為P 波速度，cp=[(1-ν)E/((1+ν)(1-2ν)ρ)]1/2，式中ν 為泊松比，ρ 為材料密度，E 為彈性模量，R 是材料常數（0＜R＜1）。

基于式（7）可以解出裂紋擴展長度表達式為：

對式（19）裂紋長度求時間導數，則可以推出巖石內部細觀裂紋速率vl為：

將式（20）代入式（18），則可以建立動態斷裂韌度與宏觀軸向應變率之間關系：

式中：

1.3 動態裂紋擴展下的應力-應變關系

式（24）中E(d)為動彈性模量，下面將對模型參數對動彈性模量影響進行詳細討論。此外，值得注意的是在動彈性模量E(d)的方程計算中，參數Q 中的軸向應變ε1應取值為ε1c。

2 結果與討論

2.1 動態應力-應變關系理論結果合理性驗證

圖 2 大理巖與與花崗巖動態應力-應變曲線的理論與試驗結果[3, 23]對比Fig. 2 Comparisons between theoretical and experimental [3, 23] dynamic stress-strain curves in marble and granite

圖2 中分別給出基于大理巖與花崗巖材料屬性，得到的動態應力應變本構關系的理論與試驗結果[3,23]曲線對比結果。可以看到，理論結果與試驗結果在變化趨勢上具有較好的相似性，在數值上具有一定的可比性，但是仍然存在一定的差異性。其中導致這些差異的原因可以分析為以下幾點：（1）本文中提出的理論模型是一個基于各向同性的均勻彈性體得到的；（2）巖石內部隨機分布裂紋無法真實呈現，而是通過假設裂紋尺寸、角度相同的均布化思路進行計算分析的。

2.2 應變率對應力-應變關系、動態壓縮強度和動態彈性模量的影響

圖 3 應變率影響下的應力應變本構關系Fig. 3 Effect of strain rate on stress-strain curve

以上通過試驗結果驗證了本文基于細觀力學的動態本構模型合理性。下面將詳細討論應變率對巖石力學特性（動態壓縮強度和動態彈性模量）的影響。其中模型參數選取參考花崗巖參數。圖3中給出了不同應變率下，應力-應變本構關系的變化趨勢。可以看到，隨著應變率的增加，應力應變曲線峰值應力，即壓縮強度，也在不斷增大，而且是加速增加，該現象也可以通過圖4 給出的軸向動態壓縮強度與軸向應變率關系清楚地看到，該結果已經被眾多研究動態強度理論的學者驗證[1,3, 13, 15,23]。還可看到，隨著應變率的增大，巖石動態強度對應峰值軸向應變不斷減小。圖4 中，研究了不同巖石內部初始損傷、模型參數m、ε0、R 下，巖石軸向動態壓縮強度與軸向應變率的聯系。隨著初始損傷D0或參數ε0、R 的減小、參數m 的增大，在一定軸向應變率下軸向動壓縮強度增大。

圖 4 不同模型參數的應變率與巖石動態壓縮強度關系Fig. 4 Relations between strain rate and dynamic compressive strength under different model parameters

此外，還可以看到，巖石裂紋初始應變值ε1c隨著應變率增加為一個恒定值，而裂紋初始應變對應的裂紋初始軸向應力則是隨著應變率的增加也在增大。本文中假設裂紋初始應變前的變形為線彈性變形。隨著應變率增加，巖石彈性變形階段曲線的切線模量，即動態彈性模量，在不斷加速增大，該現象也可以在圖5 中動態彈性模量與應變率之間關系看到，并且與眾多學者的試驗結果[1-3,23]相一致。圖5 研究了不同圍壓、巖石內部初始損傷及模型參數m、ε0、R 下，巖石動態彈性模量與軸向應變率之間的聯系。隨著初始損傷D0或參數m、ε0、R 減小、圍壓增大，在一定軸向應變率下動態彈性模量不斷增大。

圖 5 不同模型參數的應變率與動態彈性模量關系Fig. 5 Relations between strain rate and dynamic elastic module under different model parameters

2.3 模型參數敏感性分析

巖石內部初始損傷對巖石力學性能有著重要的影響。圖6 中給出了不同初始損傷對于高應變率300 s?1下動態應力-應變本構關系曲線的影響。可以看到，隨著損傷的增大，巖石的動態壓縮強度不斷減小，而且隨著損傷的減小，峰值強度對應的峰值應變在不斷減小。圖7 給出了不同圍壓狀態下，巖石動態應力-應變關系曲線結果。可以看到，隨著圍壓增大，動態壓縮強度也在不斷增大。此外，圖8、9 分別給出了模型中參數m 和ε0對動態應力-應變關系曲線的影響，可以看到，隨著參數m 和ε0減小，峰值強度對應的峰值應變值在不斷減小。圖10 中給出了參數R 對應力-應變曲線的影響，隨著R 的減小，峰值應力對應的峰值應變值都在不斷減小。

圖 6 初始損傷D0 對動態應力應變本構關系影響Fig. 6 Effect of initial damage on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 7 圍壓對動態應力應變本構關系影響Fig. 7 Effect of confining pressure on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 9 參數ε0 對動態應力應變本構關系影響Fig. 9 Effect of parameter ε0 on dynamic stress-strain constitutive relation

圖 10 參數R 對動態應力應變本構關系影響Fig. 10 Effect of parameter R on dynamic stress-strain constitutive relation

圖11 中，給出了不同應變率下，動態彈性模量與圍壓、初始損傷和參數m、ε0、R 的關系。可以看到，隨著圍壓的增大，動態彈性模量線性增大；隨著初始損傷和模型參數m、ε0、R 的增大，動態彈性模量在減速降低。以上關于模型參數影響研究，更加清楚詳細地分析了本文提出的宏細觀力學模型中參數敏感性。進而為更加精確地建立真實巖石與模型關系之間聯系提供了一定的參考。

圖 11 應變率對不同模型參數與動態彈性模量關系影響Fig. 11 Effects of strain rate on the relationships between model parameters and dynamic elastic modules

3 結 論

基于脆性巖石準靜態裂紋擴展作用下的應力-應變本構關系、裂紋速率與應變率的變化關系及裂紋速率與斷裂韌度的關系，建立了基于細觀力學的動態應力-應變本構關系模型。通過試驗結果驗證了模型的合理性，并討論了模型參數對巖石動態壓縮力學特性的影響。具體結果如下：

（1）隨著應變率的增大，巖石動態壓縮強度不斷增大，巖石裂紋初始應力不斷加速增大，峰值軸向應力對應的峰值軸向應變值不斷減小，巖石動態彈性模量不斷加速增大。

（2）隨著圍壓，初始損傷D0，參數m、R 和ε0的減小，應力-應變曲線中峰值強度對應的峰值應變不斷減小。

（3）隨著初始損傷D0或參數ε0、R 的減小，圍壓或參數m 的增大，在一定的軸向應變率下，軸向動態壓縮強度在增大。

（4）隨著初始損傷D0或參數m、ε0、R 的減小，圍壓的增大，在一定軸向應變率下，動彈性模量不斷增大。