投影法求解電場強度在競賽中的應用

陳澤南 陳 輝

(永康市第一中學,浙江 金華 321300)

不同電荷分布下電場強度的求解是物理競賽中考察的重點和難點.它對學生的數形結合分析能力及基本物理思想方法的運用要求較高．高斯定理是求解電場強度的重要方法,常見的還有微元法、對稱法及電鏡法等,適用條件各不相同,需具體問題具體分析．[1]

投影法是指將某一帶電體上特定分布的電荷在某處產生電場與向某個方向投影后另一種分布的電荷產生電場等效來求解電場強度的方法．本文淺談用投影法求解弧形分布、直線分布、球面分布及平面分布等情況下的電場強度．具體如下.

1 投影法求解弧形分布電荷的電場強度

例1.設半圓環型導體半徑為r,正電荷均勻分布,線密度為η,求圓心處的場強．

圖1

解析:在半圓環上取極短的一段弧ab,長度為Δl=rΔθ,所帶的電荷Δq=ηΔl,可視為點電荷．該弧ab對應的半徑與水平方向成θ角．弧ab在O點產生的場強

由對稱性可知,半圓環在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中rΔθsinθ可以看成弧長ab在AB方向的投影,則∑rΔθsinθ就是半圓在水平方向的投影——直徑AB,即

∑rΔθsinθ=2r.

半圓環型導體在圓心產生的場強，等效成導體在垂直對稱軸的投影形成的導體AB所具有的電荷η·2r集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產生的場強．

圖2

拓展例1.弧形導體AB半徑為r,正電荷均勻分布,線密度為η,在圓心處產生的場強等效成弦AB長的導體所具有的電荷η·2rsinθ集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產生的場強，

方向沿O′O方向.

2 投影法求解直線分布電荷的電場強度

例2.如圖2所示,一根無限長直導線,電荷均勻分布,電荷線密度為η,求距離該導線為r的O點的場強．

圖3

圖4

拓展例2.一根有限長直導線,正電荷均勻分布,電荷線密度為η,離導線距離為r的O點的場強可以等效成導線AB向O點投影形成的弧ab在O點的場強．該點的場強可以用拓展例題1的結論來求解,

方向沿著弧ab的對稱軸O′O,由O′指向O．

3 投影法求解球面分布電荷的電場強度

圖5

例3.一半徑為r的半球面均勻帶正電,電荷面密度為σ．求球心處的電場強度．

解析:在半球面上取極小的一塊球面ΔS,所帶的電荷Δq=σΔS,可視為點電荷．該球面ΔS與O點的連線與水平方向成θ角．球面ΔS在O點產生的場強

由對稱性可知,半球面在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中ΔSsinθ可以看成球面ΔS在水平面上的投影ΔS′,則∑ΔSsinθ就是半球面在水平方向的投影——圓面πr2,即∑ΔSsinθ=πr2.

圖6

拓展例3.一半徑為r的部分球面均勻帶正電,電荷面密度為σ．球心處的電場強度，可以等效成部分球面在與對稱軸垂直的面上的投影形成半徑為rsinθ的圓面所具有的電荷σπ(rsinθ)2集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產生的場強．

4 投影法求解平面分布電荷的電場強度

圖7

例4.一無限大均勻帶正電平面,電荷面密度為σ,求距平面距離為r的O處的電場強度．

解析:在平面上取極小的一塊平面ΔS,所帶的電荷Δq=σΔS,可視為點電荷．該平面ΔS到O點的距離為d,與O點的連線與豎直方向成θ角．球面ΔS在O點產生的場強

由對稱性可知,無限大帶電平面在O點的合場強方向沿著O′O方向,所以

其中ΔS′是ΔS在垂直與O點連線方向的投影.

其中ΔS″是ΔS與O點形成的錐體與半徑為r的半球面相交的曲面,則∑ΔS″就是將無窮大的平面與O點形成的錐體與半徑為r的半球面相交得到的曲面,即半球面的面積——2πr2,即∑ΔS=2πr2.

5 結束語

弧形(球面)分布電荷產生的電場強度可以等效為與對稱軸垂直的直線(平面)投影形成的線段或圓面所具有的電荷集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產生的場強．而直線(平面)分布電荷產生的電場強度可以等效為O點投影形成的半徑為r的部分圓弧(球面)所具有的電荷集中于對稱軸上離O點為r的位置O′在圓心O產生的場強．通過以上幾種模型的討論與思考,對提升競賽中學生數結合分析能力及物理思想方法有積極作用．