正弦曲線在“彈簧小球模型”中的應用

謝黎忠

(培元中學，福建 泉州 362000)

圖1

例題.一根輕彈簧,下端固定在水平地面上,一個質量為m的小球(可視為質點),從距彈簧上端h處自由下落并壓縮彈簧,如圖1所示.若以小球下落點為x軸正方向起點,設小球從開始下落到壓縮彈簧至最大位置為H,不計任何阻力,彈簧均處于彈性限度內;小球下落過程中加速度a,速度v,彈簧的彈力F,彈性勢能Ep變化的圖像正確的是

圖2

這是某市的單科質檢的一道題目,參考答案是(A)、(D),對(A)選項很多學生完全沒有解題思路,筆者對它的正確性也持反對意見.以下從定性和定量兩個角度進行分析.

1 定性分析

彈簧小球模型是高中物理最常考的題型之一,它涉及物理核心素養的最基本的兩點——物理觀念(運動、力和能量等觀念)和科學思維(對物理觀念的本質屬性和內在規律的分析).彈簧彈力隨位移變化而變化,小球的受力又影響位移變化.運動和受力二者相互干擾,學生對運動過程的變化就很難建立清晰認識.

彈簧模型經常和圖像結合,題目難度較大,學生不能建立相關的模型并進行分析,導致解題思路不清、錯誤率較高.本題的(A)、(B)選項就是研究速度、加速度隨時間t變化情況,(C)、(D)選項就是研究力、能量隨空間位置x變化情況.

當t

當0≤t≤t1,a-t圖像是平行于t軸的直線,v-t圖像是過O點傾斜直線.

v-t圖在t1之后圖像斜率先正向減小后反向增加,類似開口向下的拋物線,(B)選項錯誤.

當x>h時,F=k(x-h)，F-x圖像是傾斜直線,(C)選項錯誤.

2 理論定量分析

小球在下落過程中符合什么物理規律?

設小球下落高度為y(y>h),令y=f(t),v=y′,a=y″.對物體受力分析:

mg-k(y-h)=my″,

整理得

y″+ω2y-b=0.

這是一個二階常系數非齊次線性微分方程.通解:

y=C1cosωt+C2sinωt+C3.

v=x′=-ωAcos(ωt+φ0).

從運動規律發現:a=x″=-Aω2sin(ωt+φ0)，函數表達式得到加速度的圖像是正弦函數，試題中的(A)選項是錯誤的.

從參考文獻[1]得知,不論彈簧振子如何放置,如果運動過程不受阻力,這個振動就是簡諧運動,運動圖像就是正弦曲線.當摩擦力大小與速度成正比時,位移x=Ae-βtcos(ωt+φ0),這個圖像是振幅不斷減小的類余弦曲線.從參考文獻[2]得知,當摩擦力大小是恒定時,圖像是振幅不斷減小的類余弦曲線.做阻尼振動的彈簧振子可借助正弦曲線變化規律來分析相關物理量的變化.

3 實驗驗證和小結

圖3

物理是一門以實驗為基礎的學科,通過實驗演示有助于學生理解問題.現實生活中運動小球受到阻力較大,在授課時一般沒辦法進行實驗演示.利用金華科仿真物理實驗進行輔助授課,顯示物理過程,幫助學生理解.演示時,彈簧很難豎直壓縮,比較可行的是懸掛拉伸.如圖3,將小球懸掛在彈簧下端來模擬這個實驗,在彈簧自由長度時,給小球向下不同的初速度來代替小球從一定的高度落下(系統設置豎直方向只能是y軸,y表示小球在y軸上的空間位置).以下就是利用不同初始條件(v0=0,v0=5 m/s,v0=10 m/s)得到y-t(圖4)、a-t(圖5)、a-y(圖6)、v-y(圖7)圖像.

圖4

圖6

從圖4、5發現不論初速度的大小如何,y-t、a-t總是按照正弦規律進行變化.同時從圖4、5、6發現a和y總是方向相反,大小滿足簡諧運動的動力學方程.同時從圖6和圖7發現,不論小球的初始條件如何,小球的最大速度所在的位置總是不變的(y=7 m),且a=0.通過模擬實驗,可以將許多因外界因素影響沒辦法完成的實驗重新演示成功,甚至可以實時顯示力的動態變化和運動圖像等相關數據,幫助學生建立理想化模型,進一步提升學生的學科素養.

含彈簧問題是一個高中物理綜合度比較高、模型比較多的題型.其中又以物體連接彈簧的運動過程分析是難點.由前面分析可知,不論彈簧如何放置,不論物體接觸彈簧時是否有初速度,接觸彈簧后都是簡諧運動.一般從彈簧的形變入手,確定平衡位置,明確該點速度最大值,然后結合受力分析,判斷物體的運動情況.圖像問題首先應看清楚題目中的橫、縱坐標分別代表什么物理量,借助振動圖像和方程x=Asin(ωt+φ0),找到斜率、截距、面積相關物理意義,用函數研究橫、縱坐標的相關物理規律.當前的教學可以適當補充簡諧運動相關內容.這樣有利于提高學生綜合分析能力,提高學生的學科素養,適應新時代的要求.