對一個經典牽引模型運動學規律的探討

鄒兆貴

(長沙市長郡濱江中學，湖南 長沙 410013)

牽引模型是高中物理的一個重要模型,也是一個難點．該模型重在考查考生的理解能力、推理能力及分析綜合解決物理問題的能力．以下對一個經典牽引模型的運動學規律進行探討,以期對該模型的特點及規律的認識提供幫助．

1 模型描述[1]

圖1

如圖1所示,物體m置于水平面上,物體m前固定有動滑輪A,B為定滑輪,一根輕繩繞過B、A后固定在C點,AC段水平,當以速度v1水平向左勻速拉繩頭時,物體m沿水平面向左運動．(忽略滑輪A、B的大小)

2 運動學規律

當以速度v1水平向左勻速拉繩頭時,物體m沿水平面向左運動．物體m的運動滿足什么規律?物體m的速度與v1關系是什么?物體m的速度如何變化?物體m的加速度如何變化?物體m向左運動一段位移需要多長時間?

以下對物體m的速度變化規律、加速度變化規律及運動一段位移所需時間3個方面的內容進行探討．

圖2

如圖2所示,假設物體m運動到水平面某一位置D處時,繩BD與豎直方向的夾角為φ,繩BD與水平面夾角為θ,物體m向左運動的速度大小為v2,加速度大小為a2,經過一極短時間Δt,物體m運動到E處．過E作BD的垂線,垂足為F點,BC的豎直高度為h,繩BD的長度為L．

2.1 速度規律

物體m沿水平面向左運動,其速度大小v2與勻速拉繩頭的速度大小v1的關系如何?以下通過微元法進行分析．[2]

物體m由D運動到E處,定滑輪B右側繩子縮短的長度為Δl=BD+CD-(BE+CE),當時間極短,即Δt→0時,BE≈BF,則

Δl≈BD-BF+CD-CE=DE+DF，

(1)

同時,Δt→0時,物體m在Δt時間內的運動可視為勻速直線運動,

DE=v2Δt.

(2)

在Rt△DEF中,由幾何關系知

DF=DE·cosθ,

(3)

由于輕繩不可伸長,故定滑輪B左側繩子伸長的長度

Δl′=Δl,

(4)

勻速拉繩頭時,

Δl′=v1Δt.

(5)

聯立(1)～(5)式可得v1Δt=v2(1+cosθ)Δt,即

v1=v2(1+cosθ).

(6)

2.2 加速度規律

物體m向左做加速運動,物體m的加速度a2是多少?如何變化?以下進一步分析物體m的加速度變化規律．

在(6)式兩邊對時間t求導得

(7)

(8)

由幾何關系及導數知識知

(9)

物體m向左運動過程中,定滑輪B右側繩子有繞定滑輪B轉動的效果．設在D處時,繩子繞定滑輪B轉動的線速度大小為v3,角速度大小為ω,由運動的合成與分解規律知

v3=v2sinθ.

(10)

根據角速度的定義知

(11)

由圓周運動規律知

v3=ωL.

(12)

結合幾何關系

(13)

聯立(8)～(13)式得

圖3

2.3 時間規律

物體m向左做加速度不斷增加的加速運動,向左運動一段位移,所需的時間t滿足什么規律呢?

設物體m運動到D處時,繩BD的水平長度為x,由幾何關系知:

x=h·cotθ.

(14)

兩邊微分得

dx=h·d(cotθ)=-h·csc2θ·dθ,

(15)

以水平向右為正方向,注意到物體m向左運動,則dx<0．設一極短時間內物體m向左運動的位移大小為dx′,則有

-dx=dx′.

(16)

聯立(15)、(16)式得

dx′=h·csc2θ·dθ.

(17)

(18)

(19)

(19)式即為物體m向左運動,從θ1位置運動到θ2位置這一過程中所需要的時間．

當物體m初始計時位置θ1為常見角度時,物體m從θ1位置運動到θ2(θ2=90°)位置所需時間t的大小列表如表1,方便查閱．

表1

3 結束語

本文中牽引模型,勻速向左拉繩頭時,物體m向左做加速度增大的加速運動．利用微元法求解牽連體的速度關系便于理解．其中對物體加速度的變化規律及運動一段位移所需時間的計算需要利用大學導數和微積分的知識,超出了高中課本知識的范圍(或許源于此,高中物理教學中對該模型物體加速度和運動位移所需要時間的討論鮮有涉及)．以上是筆者對該經典牽引模型的運動學規律的探討,以饗讀者．