新課標兩道高考實驗試題的參考答案引發的思考
——兼談逐差法減小誤差的理論根源的完整理解

王志成

(甘肅省臨夏中學，甘肅 臨夏 731100)

1 問題的提出

“測定勻變速直線運動的加速度”是高中物理實驗中的一個很重要的學生實驗,也是高考考查頻率極高的一個實驗．逐差法是此實驗數據處理的基本方法．若給出奇數段實驗數據,用逐差法求加速度,就要舍棄其中的一段實驗數據．請看以下兩道高考題給出的參考答案．

1.1 舍棄最小段數據的高考例證

圖1

例1.(2017年新課標卷Ⅰ第22題)某探究小組為了研究小車在桌面上的直線運動,用自制“滴水計時器”計量時間．實驗前,將該計時器固定在小車旁,如圖1所示．實驗時,保持桌面水平,用手輕推一下小車．在小車運動過程中,滴水計時器等時間間隔地滴下小水滴,圖2記錄了桌面上連續6個水滴的位置．(已知滴水計時器每30 s內共滴下46個小水滴)

圖2

(1) 由圖2可知,小車在桌面上是________(填“從右向左”或“從左向右”)運動的．

(2) 該小組學生根據圖2的數據判斷出小車做勻變速運動．小車運動到圖2中A點位置時的速度大小為____m/s,加速度大小為____m/s2．(結果均保留2位有效數字)

高考參考答案: (1) 從右向左；(2) 0.19，0.037.

圖3

高考參考答案為0.037 m/s2(結果保留2位有效數字)．由此可以推斷:舍棄了最小段數據83 mm．

1.2 舍棄中間段數據的高考例證

例2.(2016年新課標卷Ⅰ第22題)某學生用圖3所示的實驗裝置驗證機械能守恒定律,其中打點計時器的電源為交流電源,可以使用的頻率有20 Hz、30 Hz和40 Hz,打出紙帶的一部分如圖4所示．

該學生在實驗中沒有記錄交變電流的頻率,需要用實驗數據和其他條件進行推算．

(1) 若從打出的紙帶可判定重物勻加速下落,利用圖4中給出的物理量可以寫出:在打點計時器打出B點時,重物下落的速度大小為________;打出C點時重物下落的速度大小為________;重物下落的加速度的大小為________．

圖4

(2) 已測得s1=8.89 cm,s2=9.50 cm,s3=10.10 cm;當地重力加速度大小為9.80 m/s2,實驗中重物受到的平均阻力大小約為其重力的1%．由此推算出f為________Hz．

1.3 哪種舍棄法更合理的爭論

兩次高考參考答案對同一問題(逐差法求加速度),數據處理采用了不同的舍棄法．究竟哪種舍棄法更合理呢?

觀點1:舍棄最小段數據．理由是小量的測量不準確,相對誤差大．持這一觀點的教師較多．

觀點2:舍棄中間段數據．理由是各種版本的物理教材對偶數段實驗數據應用逐差法時,有一個基本要求,要求求差的差值要大,舍棄中間段數據后求差時差值比舍棄最小段數據求差的差值大．持這一觀點的教師少．

彼此都不能說服對方．

其實,單次測量的偶然誤差究竟是多大,我們無從知曉．因為偶然誤差的來源很多,各實驗又有各自的特點,所以很難給出預測偶然誤差的統一的規定．在誤差理論分析中,一般估計它的最大值．一組等精度單次測量偶然誤差,其最大不會超過儀器最小分度值的一半．

例1中,5段實驗數據,每一個數據是一個單次測量的,但5個數據又是等精度測量．考慮到中學實驗測量紙帶常用的是最小刻度(精度)為毫米的直尺,測量時直尺兩端的讀數誤差各取最小分度的一半即0.5 mm．所以,5段實驗數據各自單次測量的絕對誤差的估計值應取相同值Δs=±1 mm．可見,觀點1的理由“小量的測量不準確,相對誤差大”的判斷正確,所以持觀點1的教師多,如文獻[1-2]也是這種觀點．

筆者認為,相對誤差大的一組數據對間接測量加速度的測量誤差的影響不一定大．根據誤差理論,[3]間接測量的誤差不僅取決于直接測量誤差的大小,同時也取決于函數(間接測量的計算公式)的具體形式,不同函數的誤差傳遞公式不同．因此,舍棄相對誤差大的數據是沒有理論根據的,只有通過間接測量的誤差分析后,才能判斷這兩種舍棄法的優劣．

2 不同舍棄法的誤差分析

根據任意函數(間接測量的計算公式)的絕對誤差傳遞公式．

對于任意函數Y=F(X1,X2,…,Xm),在考慮誤差之后,則為Y+ΔY=F(X1+ΔX1,X2+ΔX2,…,Xm+ΔXm)．

在分析絕對誤差時,由于誤差本身的正或負是不可知的,因此,上式中各ΔX的系數均取絕對值,即任意函數(間接測量的計算公式)的絕對誤差傳遞公式為

(1)

由于同一次實驗的同一條紙帶求加速度,加速度的真值是同一個值．舍棄不同段數據測量值(計算出的加速度)不同,但加速度真實值(客觀存在值)相同,所以絕對誤差大的相對誤差也大．因此,比較絕對誤差的大小即可．

2.1 舍棄中間段數據的絕對誤差

若例1中舍棄中間段數據,則應用逐差法后求加速度平均值的計算公式為

(2)

根據絕對誤差傳遞公式(1),求出用(2)式計算加速度的絕對誤差為

(3)

式中Δs=±1 mm.

2.2 舍棄最小段數據的絕對誤差

若例1中舍去最小段數據,則應用逐差法后求加速度平均值的計算公式為

(4)

根據絕對誤差傳遞公式(1),求出用(4)式計算加速度的絕對誤差為

(5)

式中Δs=±1 mm.

比較(3)式、(5)式可知:舍棄中間段的絕對誤差小于舍棄最小段的絕對誤差．顯然舍棄中間段數據求加速度的方法更合理．例1的高考參考答案是不合理的．例2的高考參考答案是合理的．

0.039 m/s2．

3 完整理解逐差法減小誤差的理論根源

在“測定勻變速直線運動的加速度”的實驗中,教師講解時都要特別強調應用逐差法的兩個要點:一要“充分利用實驗數據”,二要“求差時差值要大”．強調這兩個要點的理論根源是什么?也就是逐差法減小誤差的理論根源是什么呢?

3.1 應用逐差法要強調“充分利用實驗數據”的理論根源

根據偶然誤差的高斯分布規律“絕對值相等、符號相反的誤差出現的機會相等”可知,應用逐差法要強調“充分利用實驗數據”的理論根源是:多次測量求平均值,以抵消“絕對值相等、符號相反的誤差”,從而減小偶然誤差．這只是逐差法減小誤差的理論根源的一個方面．

例1的分析中,兩種不同的舍棄法在充分利用實驗數據上是一樣的,都用了4個數據．這一點上看兩種舍棄法是等效的．

逐差法時充分利用實驗數據求加速度和圖像法充分利用實驗數據畫出s-T2圖像通過圖像斜率求加速度是等效的,兩者都能達到充分抵消絕對值相等的正負誤差的效果．逐差法的優點在于求解快速,圖像法的優點是直觀,容易發現、剔除個別錯誤數據．[2]

3.2 應用逐差法要強調“求差時差值要大”的理論根源

應用逐差法要強調“求差時差值要大”的理論根源,很多教師是不清楚的．

逐差法“求差時要差值要大”的理論根源是間接測量的誤差不僅跟直接測量的誤差有關,還跟間接測量的計算公式有關,即誤差傳遞公式決定．通過例1的兩種不同的舍棄法的誤差分析中明顯可以看出,間接測量的誤差還跟間接測量的計算公式有關．即采用不同的舍棄法計算加速度的公式(2)式和(4)式不同,加速度不同的計算公式的誤差傳遞公式(3)式和(5)式不同．同時也看出,舍棄某一數據后“求差時差值大”的逐差法的誤差小．這是逐差法減小誤差的理論根源的另一個方面．

例1的分析中,舍棄中間數據求差時的差值要比舍棄最小數據求差時的差值大,從逐差法減小誤差的理論根源的另一個方面看,舍棄中間數據產生的誤差小．

4 結束語

綜合考慮逐差法減小誤差的理論根源的兩個方面后,例1分析中,兩種不同舍棄法的優劣顯而易見了．兩次高考命題組給出的參考答案采用不同的舍棄法,就是沒有完整的理解逐差法減小誤差的理論根源所致．

只有完整的理解了逐差法減小誤差的理論根源的兩個方面,才能在應用逐差法時游刃有余,靈活變通,不會出錯．

高考是選拔性考試,試題及參考答案的科學性和嚴肅性是最基本的要求,只有堅持了科學性和嚴肅性,才能體現高考的客觀性和公正性．