一道轉盤上繩連體習題的分析

平 佩 平功遠

(1. 東莞南城陽光實驗中學,廣東 東莞 523079； 2. 深圳市光明區高級中學,廣東 深圳 518106)

靜摩擦力是高中物理中最活躍的因素,屬于被動力,它的大小、方向由物體的受力情況和運動狀態決定,可以理解為按需要提供．繩的彈力由繩的微小形變產生,也是按需要提供,也屬于被動力．當這兩個被動力碰到一起時,怎樣根據物體的需要來提供?它們的變化有什么特點呢?下面我們來看一道習題．

圖1

例1.如圖1所示,一水平圓形轉盤上放置有兩木塊A、B,質量分別為m和3m,距圓心O的距離分別為2r和r,兩木塊與轉盤之間的動摩擦因數均為μ,兩木塊之間用一根不可伸長的輕繩連接,開始時輕繩處于水平狀態但無拉力．現轉盤繞圓心開始緩慢加速(在任意時刻均可近似認為是勻速轉動),設木塊與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,輕繩可承受的拉力足夠大,重力加速度為g．

(1) 為使兩木塊與轉盤始終保持相對靜止,求轉盤角速度的最大值ωm;

分析：轉盤轉動過程中,木塊A、B隨轉盤一起做勻速圓周運動,需要的向心力分別為FA需=2mω2r，FB需=3mω2r,當角速度ω緩慢增加時,B需要的向心力增加得更快些．轉盤角速度ω從0緩慢增加時,A、B開始只受靜摩擦力作用,當A所受摩擦力達到最大靜摩擦力時,繩中出現張力,以后張力逐漸增大,A、B所受靜摩擦力也將變化．

圖2

(1) 轉盤角速度ω較小時,只需靜摩擦力就可以提供向心力,無需繩提供拉力．A、B所受靜摩擦力都指向圓心,如圖2所示．

對A、B,分別由牛頓第二定律,有

fA=mω22r，fB=3mω2r.

當角速度為ω1時,A所受靜摩擦力達到最大靜摩擦力，有

fAm=μmg=mω12·2r.

圖3

對A、B,分別由牛頓第二定律,有

FT+μmg=mω2·2r，FT+fB=3m·ω2r，

解得FT=2mω2r-μmg，fB=mω2r+μmg.

圖4

對A、B,分別由牛頓第二定律,有

FT+fA=mω2·2r，FT+3μmg=3m·ω2r.

解得

FT=3mω2r-3μmg，fA=3μmg-mω2r.

圖5

對A、B,分別由牛頓第二定律,有

FT-fA=mω2·2r，FT+3μmg=3m·ω2r.

解得

FT=3mω2r-3μmg，fA=mω2r-3μmg.

根據以上討論,可以畫出A、B所受摩擦力fA、fB和繩中拉力FT與ω關系的F-ω2圖像如圖6所示,其中規定指向圓心的方向為力的正方向．

解答：根據以上分析,本題求解過程如下.

(1) 當轉盤角速度最大時,A、B兩物體恰好不沿AB方向相對轉盤滑動,兩物體所受摩擦力都為最大靜摩擦力,方向都沿BOA方向,設此時繩中拉力為F1．分別對A、B由牛頓第二定律,有

F1-μmg=mωm2·2r，

(1)

F1+3μmg=3m·ωm2r.

(2)

圖6

(3)

F2-f2=mω22·2r，

(4)

F2+3μmg=3m·ω22r.

(5)

解得

(6)

由(3)、(6)式得

f1∶f2=1∶1.

(7)

點評：(1) 由于靜摩擦力和繩的拉力都是被動力,都由物體運動情況和受力情況決定,因此靜摩擦力大小和方向的判斷有一定困難,特別是A所受靜摩擦力,大小和方向的變化無規律可尋.

(2) 在角速度ω增大時,B需要的向心力增加得更快些,為我們判斷A所受靜摩擦力大小和方向的變化提供了一定的依據.

(3)A、B所受摩擦力fA、fB和繩中拉力FT與角速度關系的F-ω2圖像,可以讓我們更好地弄清楚各力的變化及彼此間的制約關系．