新型縮減矩陣構造加快特征基函數法迭代求解*

王仲根 沐俊文 林涵 聶文艷

1) (安徽理工大學電氣與信息工程學院, 淮南 232001)

2) (淮南師范學院機械與電氣工程學院, 淮南 232001)

1 引 言

矩量法[1]是求解頻域積分方程的一種有效數值方法, 被廣泛應用于目標雷達散射截面計算、天線設計與分析、電磁環境預估、電磁兼容設計等領域.但矩量法需要對目標精細剖分, 隨著目標電尺寸的增大, 計算復雜度以及內存需求都會急劇增大.為解決這個問題, 一些快速有效的矩量法被提出來, 如快速多極子法(fast multipole method,FMM)[2]、多層快速多極子法 (multilevel fast multipole method, MLFMM)[3,4]、預修正-快速傅立葉變換法(precorrected fast Fourier transform,P-FFT)[5]、自適應積分法(adaptive integral method, AIM)[6]等, 這些方法可以降低矩陣向量積計算復雜度, 但不能減少未知數的數目.為降低未知數的數目, 有學者提出將宏基函數引入到矩量法中, 如子全域基函數法[7]、復合基函數法[8]、子域多層法[9]、特征模法[10,11]以及特征基函數法(characteristic basis function method, CBFM)[12-14],其中CBFM因考慮到各子域間的耦合作用而備受關注.為提高CBFM計算效率, 文獻[15]提出應用物理光學法生成特征基函數(characteristic basis functions, CBFs), 但精確度不高; 文獻[16,17]分別應用自適應交叉近似-LU分解技術、自適應交叉近似-奇異值分解來高效生成CBFs; 文獻[18,19]提出一種CBFs融合構造方法, 提高了CBFM的計算精度; 文獻[20-23]應用自適應交叉近似(adaptive cross approximation, ACA)算法、快速偶極子法加快矩陣向量積運算, 提高縮減矩陣構造效率; 文獻[24-26]將CBFM與MLFMM, AIM,P-FFT相結合, 通過迭代法求解縮減矩陣方程, 提高了CBFM分析電大目標電磁散射問題的能力,但是隨著目標電尺寸的增大, CBFs數目不斷增加,縮減矩陣維數會變得越來越大, 矩陣條件數變差,迭代求解縮減矩陣方程效率降低[27].

本文提出一種新型縮減矩陣構造方法, 應用奇異值分解技術壓縮激勵源, 基于新激勵源求解出各子域的特征基函數.運用伽略金方法構造縮減矩陣時, 將新激勵源和特征基函數作為檢驗函數和基函數, 得到一個對角子矩陣均為單位矩陣的縮減矩陣.新方法構造的縮減矩陣與傳統方法構造的縮減矩陣相比, 矩陣條件數得到了優化, 迭代求解縮減矩陣方程的效率顯著提高, 并且該方法易于與MLFMM, AIM, P-FFT等算法相結合, 進一步提高了特征基函數法分析電大尺寸目標電磁散射問題的能力.

2 特征基函數法

CBFM首先將目標劃分為M個鄰接的子域,再將每個子域剖分成Ni個單元(i=1, 2,...,M).為獲得一組包含多角度電流信息的CBFs,CBFM采用不同入射方向和極化的激勵照射每個子域, 假設總的激勵數為Npws=2NθN?,Nθ,N?分別表示在θ,?方向上的激勵數目, 于是子域i上的主要特征基函數(primary characteristic basis functions, PCBFs)即可通過下式求得:

式中,Ei表示擴展子域i的激勵矩陣, 維數為表示擴展子域i的自阻抗矩陣, 維數為為擴展子域i的電流系數矩陣,維數為為擴展子域i的未知數數目.通過直接求解(1)式, 得到擴展子域i的.由于采用多角度激勵源得到的必然含有冗余信息,故通過奇異值分解(singular value decomposition,SVD)壓縮矩陣去除冗余信息, 即

式中,Ui和Vi均為酉矩陣, 維數分別為和為對角陣, 維數為通過設置合適的門限τ, 保留Ui中大于門限的前Ki個列向量并去除擴展部分作為子域i的最終CBFs.假設子域i經過 SVD后得到Ki個 CBFs,則子域i的表面電流可由這Ki個CBFs線性組合表示:

式中,ZR表示所有子域CBFs之間的相互作用,維數為是激勵向量;α為待求CBFs系數.縮減矩陣方程構造原理與矩量法構造阻抗矩陣方程相似, 子域i上的第m個CBFs與子域j上第n個CBFs之間的相互作用表示為

式中,Fi,m,Fj,n分 別表示子域i和j上的第m,n個 CBFs;fi,p(r) ,fj,q(r) 分別為子域i和j上的第p,q個 Rao-Wilton-Glisson (RWG)基 函 數.Zij(p,q)=Zpq=〈fi,p(r),L(fj,q(r))〉,Zij表示子域i和j上所有RWG基函數之間的相互作用,Zpq是第p個RWG基函數和第q個RWG基函數之間的相互作用.Ji(p,m) 為聯系子域i中第m個CBFs和子域i中第p個RWG的線性標出系數, 這些系數構造矩陣Ji中的每一列對應一個 CBFs;Jj(q,n)為聯系子域j中第n個 CBFs 和子域j中第q個RWG的線性標出系數,Ni和Nj分別表示子域i和j所包含的RWG基函數的數目.因此子域i和j所有CBFs之間的相互作用可以表示為

從(6)式和(7)式可以看出, 運用伽略金方法構造縮減矩陣時, 使用Ji的共軛轉置同乘方程兩邊, 檢驗函數和基函數均采用CBFs(Ji).由(6)式和(7)式可得整個縮減矩陣方程的表達式為

通過求解(8)式即可得到系數矩陣α, 通常求解(8)式可以選擇直接法求解, 但在分析電大復雜目標時, 縮減矩陣維數增大, 縮減矩陣方程需要通過迭代法求解.

3 新型縮減矩陣構造

為提高縮減矩陣方程迭代求解效率, 本文提出一種新型縮減矩陣構造方法, 首先應用SVD對激勵矩陣進行壓縮:

設定門限τ去除Ui中具有線性相關性的分量并將其表示為, 并將定義為激勵基函數.假設每個子域經過SVD后包含Li個激勵矢量, 將新的激勵源代入到(1)式, 求解出每個子域的CBFs:

由于Li?Npws, 可以顯著減少方程求解次數.通過求解(10)式, 每個子域可得到Li個將分別作為構建縮減矩陣的檢驗函數和基函數, 則縮減矩陣子矩陣可以表示為

4 數值算例

為驗證本文方法(novel characteristic basis function method, NCBFM)的有效性和精確性,分別對導體球、錐球帶縫體的雙站RCS以及杏仁體的單站RCS進行了計算.所有算例均在Intel(R) Core(TM) i5-6200U 2.30 GHz, 48 GB RAM 的PC 機上完成, 編譯器采用Visual studio 2013, BiCGStab迭代誤差為 0.001, 為了驗證NCBFM計算精度, 定義電流系數均方根誤差為

算例1計算一個半徑為λ導體球的雙站RCS, 入射頻率為 300 MHz, 入射角度θ=0°,?=0°.應用三角單元剖分球表面, 未知數為17278, 目標劃為8個子域.NCBFM和CBFM均為每個子域構造800個激勵, 圖1(a)給出了2種方法在不同SVD門限下的電流誤差以及CBFs數目.從圖1(a)可以看出, 采用SVD壓縮激勵源, 電流誤差收斂速度更快; 另外, CBFM在分析電大復雜目標時, 激勵數目往往根據經驗設定, 存在大量冗余計算, 而應用SVD對激勵源進行壓縮, 只需設置合適的SVD門限, 就可以在保證精度的情況下減少冗余計算.根據電流誤差分析, CBFM和NCBFM的門限τ分別取0.005和0.008, 圖1(b)給出了左半球面4個子域SVD后奇異值的分布曲線.從圖1(b)可以看出, 2種方法在每個子域奇異值數目為80時即可達到門限設置要求, CBFM得到653個CBFs, 縮減矩陣維數為 6 53×653 , 矩陣條件數為5282, 采用BiCGStab迭代法求解縮減矩陣方程, 迭代26次即可收斂.NCBFM共得到649個CBFs, 縮減矩陣維數為 6 49×649 , 矩陣條件數為1785, 縮減矩陣方程迭代17次即可收斂,計算效率提高了34.6%.分別應用CBFM和NCBFM計算了導體球HH極化雙站RCS, 計算結果如圖1(c)所示, 從圖1(c)可以看出,NCBFM與CBFM計算結果吻合較好, 計算精度較高.

圖1 (a)不同SVD門限下2種方法的計算誤差及CBFs數目; (b)左半球面4個子域的奇異值分布曲線; (c)導體球雙站RCSFig.1.(a) Calculation error and numbers of CBFs under different SVD thresholds of two methods; (b) singular value distribution curve in four sub-domains of the left hemisphere; (c) bistatic RCS of PEC sphere.

算例2計算一個錐球帶縫體的雙站RCS, 其幾何外形定義見文獻[28], 入射頻率為6 GHz, 入射角度θ=270°,?=0°.應用三角單元剖分目標表面, 得到124685個未知數, 目標被劃為48個子域.2種方法在每個子域上均設置1600個激勵, CBFM的SVD門限為0.001, 共得到7829個CBFs, 若采用直接法(LU分解)求解縮減矩陣方程需要耗時1239.6 s, 而采用迭代法求解縮減矩陣方程, 迭代86次即可收斂, 耗時104.5 s.NCBFM的SVD門限為0.002, 共得到7775個基函數, 縮減矩陣方程迭代求解45次即可收斂, 耗時57.3 s, 計算效率提高了45.2%.2種方法計算的HH極化雙站RCS如圖2所示, 從圖2可以看出NCBFM計算的結果與CBFM和FEKO吻合較好.

圖2 錐球帶縫體雙站RCSFig.2.Bistatic RCS of cone-sphere with gap.

算例3計算一個252.3744 mm杏仁體的單站RCS, 入射頻率為20 GHz, 入射角為θ=90°,φ=0°- 1 80°.用三角單元對目標表面進行剖分,共得到153690個未知數, 目標劃為52個子域.2種方法設置的激勵數均為1600, CBFM和NCBFM的SVD門限分別為0.001和0.002, 分別得到11410和11362個CBFs, 若采用直接法求解縮減矩陣方程, 需要耗時5387.3 s.應用CBFM求解縮減矩陣方程, 迭代次數平均為128.2, 單次縮減矩陣方程求解平均耗時237.8 s; NCBFM迭代次數平均為63.5, 迭代次數減少了50.4%, 單次縮減矩陣方程求解平均耗時121.2 s.圖3給出了2種方法計算的HH極化單站RCS, 從圖3可以看出, NCBFM的計算結果與FEKO吻合較好, 具有較高的計算精度.

圖3 杏仁體HH極化單站RCSFig.3.Monostatic RCS in HH polarization of NASA almond.

表1給出了CBFM和NCBFM在阻抗矩陣填充、基函數構造、縮減矩陣構造以及縮減矩陣方程時的求解時間.從表1可以看出, NCBFM在基函數構造方面計算效率有了小幅提高, 在縮減矩陣方程迭代求解方面計算效率都得到了顯著提高.

5 結 論

本文給出了一種新型縮減矩陣構造方法, 該方法應用奇異值分解技術壓縮激勵源, 并在新激勵源下求解出各子域的特征基函數, 減少了冗余計算;在構造縮減矩陣時, 選擇激勵基函數和特征基函數作為檢驗函數和基函數, 將縮減矩陣的對角子矩陣優化為單位矩陣, 提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率.數值結果證明了本文方法在保證精度的前提下, 有效地提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率.本文方法提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率, 但在迭代過程中存在大量的矩陣向量積運算, 今后會進一步研究將多層快速多極子法、自適應積分法、預修正-快速傅里葉變換法、快速偶極子法等算法引入到該方法中, 加快矩陣向量積運算, 以提高特征基函數法分析電大目標電磁散射特性的效率.

表1 計算時間比較Table 1.Comparison of computation time.