一維諧振子束縛的自旋軌道耦合玻色氣體*

李志強 王月明

1) (山西大學理論物理研究所, 太原 030006)

2) (山西大學物理電子工程學院, 太原 030006)

3) (量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

1 引 言

自旋軌道耦合(spin-orbit coupling, SOC)是粒子自旋內稟自由度與其外部運動自由度之間的相互作用, 在凝聚態物理許多重要的現象中扮演著重要的角色[1-3].近幾年來, 冷原子物理學的一個重要進展是實現了光誘導合成規范場的中性原子的SOC[4-7], 目前在實驗上可以在玻色子和費米子超冷原子氣體中實現各種SOC的哈密頓量[8-12].雖然大多理論工作都集中在Rashba耦合的SOC的均勻系統上, 但是諧振子束縛勢下具有SOC的冷原子系統也受到關注和研究[13-17].

量子Rabi模型[18,19]是量子光學中重要的基礎模型之一, 模型形式簡單, 但精確求解并不容易.直到2011年, Braak[20]提出Rabi模型具有Z2對稱性保證了其可積性, 因而可以通過求解超越方程得到系統的精確能譜.該工作重新激起了人們對量子Rabi模型研究的興趣[21-24].Rabi模型被廣泛應用于不同的物理領域, 包括量子光學[25]、量子信息[26]、凝聚態物理[27]和腔量子電動力學[28-31], 也為研究受限空間中的冷原子系統提供了模型和方法.

在量子光學中考慮原子的動能大大超過了相互作用能, 通常采用絕熱近似不考慮原子質心動能.然而, 利用激光冷卻原子運動降低原子動能可以制備出1 K量級的冷原子氣體, 這個能量與腔量子電動力學實驗的相互作用能相當, 從哈密頓量中排除動能項不再合理.本文研究一維(1D)諧波勢阱中具有SOC的Bose氣體(考慮稀薄原子氣體, 忽略相互作用), 采用量子光學中的方法求解系統的本征能態及可觀測物理量的動力學演化, 與目前相關的實驗結果定性一致[11,12].

2 諧振子勢束縛自旋軌道耦合的Bose氣體

三維空間諧振子束縛勢中具有SOC的單原子Bose氣體的哈密頓量形式為

其中κr是雙光子反沖動量,?是拉曼耦合強度,δ是雙光子失諧,為泡利矩陣算符.三維哈密頓量可以通過維度塌縮方法變為一維系統, 這樣一維系統的哈密頓量為

將ωx簡記為ω.(3)式的模型看似簡單, 除了特殊情況ω=0 或?=0 之外, 該模型不容易解析求解.

3 映射為量子Rabi模型

為了將諧波勢阱中的SOC模型變換到量子Rabi模型, 將原子質心運動量子化用a?(a) 產生(湮滅)算符來表示, 方程(3)改寫為

做一旋轉變換a?→a?eiθ,a→ae-iθ(θ=π/2), 方程(5)變為標準的Rabi模型

量子光學中Rabi模型描述了量子化光場與二能級原子內態的耦合, 此處則描述了原子贗自旋(此后簡稱為量子比特)與質心動量的耦合.這樣就可以利用量子光學中的方法來求解該系統.當δ=0時, 系統進一步簡化為

其中?是原子內部能級的能量差,ω為諧振子束縛勢頻率,λ為自旋-軌道耦合強度.

4 變分法求解基態

其中HL和HR分別是依賴于量子比特的振子左右平移哈密頓量[32],

|±z〉為的本征態.如果忽略?項, 則能量本征態就是與量子比特相關的振子的平移Fock態(|+z〉對應左平移態, |-z〉對應右平移態).通常人們將?項視為微擾(絕熱近似), 但本文主要研究?/ω＞1的情況.下面我們采用試探波函數 |ψ0〉 方法, 將振子平移量和量子比特內態的相干疊加參數分別作為變分參數:

其中 |α〉為相干態, |±x〉為的本征態.在坐標和動量表象中表示為

其中m是原子的質量.假定α為實數, 則能量期待值表示為

故此, 可以通過對含參數α和θ的能量泛函最小化以求得基態能量.根據二元函數極值判據可知當4λ2/(?ω)＜1時, 系統能量只有一個局域最小值,在α=0 和θ=0 時取得; 但如果條件

成立, 則能量有兩個局域極小值, 分別由α=±α0和θ=±θ0給出, 且有

此后我們假設條件(13)始終成立, 另外我們假定選擇θ0使得 s inθ0≥ 0 , 這(使得α0≤ 0 , 分別對應兩)個簡并態(左平移)和(右平移), 相應的能量為

此處ε=?ω/(4λ2).這兩個簡并態均不是宇稱算符的本征態[33], 通過相干疊加可以得到具有確定宇稱的量子態

這里左右平移態分別為:

歸一化系數為

圖1 簡并量子態能量 EN,L/R與左右平移奇宇稱疊加態 能量 E -,N 隨SO耦合強度 λ 的變化 可見 N=0 疊加態能量最低, 更接近基態; 而對于激發態 N /=0 , 二者能量隨參數變化出現交叉; 相關參數取值為 ?=1.4ω , 與文獻[19]精確解的結果基本一致Fig.1.The energies of degenerate quantum statesand the superposition state of odd parityof left(right)-displaced number states varies as the spin-orbit coupling strength λ.It is seen that for N=0 , the superposition state has the lowest energy which is the best approximation for the ground state in our interest.And for the cases of N /=0 , the energies of the two quantum states have pitchforks.The relevant parameters is Ω=1.4 and the results are in agreement with those in Ref.[19].

這個近似結果解有助于我們直觀地理解系統的動力學.

5 系統動力學演化

考慮系統的動力學演化, 對于稀薄原子氣體可以忽略原子間相互作用.我們取初態 |ψ0,L〉 , 在初始時刻時開啟拉曼誘導的SOC, 則系統的初始波函數為

其時間演化近似為

其中 Δω是頻率差,

在(25)式中忽略了 e-2α20的高階冪次.可以看出在初始時刻t=0 時, 初態動量分布主要位于左側(振子相干態 |α0〉); 而在時刻t=π/Δω時, 動量分布主要位于右側(振子相干態 |-α0〉); 在時刻t=π/(2Δω) ,原子動量概率分布呈雙峰分布, 對應于兩個相干態的疊加, 這是標準的隧穿運動, 與經典雙勢阱完全類似.

圖2和圖3分別給出了粒子在動量空間和坐標空間概率分布的動態特性, 由(23)式的近似值計算得出, 在這里我們取?=3ω和λ=2ω.可以清楚地看到原子質心動量和空間位置分布的特征隧穿行為, 即所謂 Zitterbewegung振蕩.

另外兩組分原子布居差σz的期望值〈σz〉=sinθ0cos(Δωt)描述了原子的極化率的動力學.圖4顯示了原子極化 〈σz〉 隨時間的演化, 可以看到 〈σz〉 在1和-1之間周期振蕩.

圖2 原子動量分布概率的粗粒動力學演化 (3D, 左側; 2D, 右側) 相關參數取值為 ?=3ω , λ=2ω , 初態為 Ψ (t=0)=ψ0,L ,動量Fig.2.The coarse dynamics evulution of momentum distribution of single particle (left for 3D; right for 2D) with ?=3ω and λ=2ω.The initial state is set as Ψ (t=0)=ψ0,L.Momentum is defined by.

圖3 原子空間位置分布概率的粗粒動力學演化(3D, 左側; 2D, 右側) 相關參數取值及初態同圖2, 位置Fig.3.The coarse dynamics evolution of position distribution of single particle (left for 3D; right for 2D) with the same parameters and the initial state in Fig.2 and .

圖4 原子極化 〈 σz〉 隨時間演化初態為 Ψ (t=0)=ψ0,L ,參數取值為 ?=3ω 和 λ=2ω , 時間以因子 2 π/Δω 標度Fig.4.Time evolution of 〈 σz〉 with the initial state being Ψ(t=0)=ψ0,L and the parameters ?=3ω and λ=2ω.The time is scaled by the tunneling period 2π/Δω.

6 結 論

綜上, 我們求解了諧波勢阱中拉曼誘導自旋軌道耦合的Bose氣體, 通過將系統完全映射到量子Rabi模型, 將輻射場變為聲子場, 運用量子光學中平移Fock態的方法得到了強耦合區域諧波勢阱中自旋軌道耦合的Bose氣體模型的基態解及系統的動力學演化, 直觀地給出了原子質心空間坐標和動量及原子極化隨時間的振蕩圖像, 與相關的實驗結果定性相符.

傳統量子光學中二能級系統與振子系統的耦合強度受到很大限制, 但在本系統中原子自旋軌道耦合強度可以通過Raman耦合來調節, 冷原子的質心動能很小, 不能像量子光學中慣常采用絕熱近似忽略掉原子的質心動能, 這使得本模型科學合理.冷原子系統具有良好的可調控性, 通過改變束縛勢阱的頻率以及Raman激光的波長和強度, 可以實現量子光學中Rabi模型目前無法達到的參數區域-深度強耦合區域.本文的研究也為自旋軌道耦合的冷原子系統提供了一個新的方法和視角.