基于動磁測量與BFGS法求解的魚雷近場定位算法

李 偉，李 斌2，鄧 鵬，許 政

(1.海軍潛艇學院 戰略導彈與水中兵器系，山東 青島 266100； 2.西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710000)

隨著海洋科學及水中兵器的不斷發展，水下目標定位領域越來越受到人們的重視，在水下無人潛航器的探測、海洋勘探、水中兵器試驗與靶場建設方面有重要意義。利用水下定位技術，可判斷我艦附近有無敵偵查兵力；可試驗新研發水中兵器自導能力，測量其全彈道軌跡及脫靶量，為武器的成功研制與定型提供助力；可使武器試驗靶場有更全面的手段測試武器性能等重要作用。

利用水聲手段可定位水下運動目標前、中段的航跡，在目標遠場測量上更有優勢，有超短基線測量系統，短基線測量系統，長基線測量系統等，配合以衛星定位，可以實現精度較高的水下定位[1-3]。這些測量系統組件龐大，需要在特定海域海底鋪設水聲應答器，在水面測量艦船底部安裝換能器，在水下運動目標上面安裝水聲收發器，限制了試驗海區與特定的水下目標，使得系統建造與維護成本巨大。水下運動目標近場測量時，例如武器過靶彈道及脫靶量測量，水聲定位方法不能滿足其要求，測量精度會急速降低，這是因為水面艦艇附近聲場環境復雜，艦船噪音、環境噪音與海洋混響為水聲定位帶來困難，使該方法難以測量武器末彈道與脫靶量信息，這為靶場建設、全彈道測量與新武器研發帶來困難[4-5]。

在測量距離遠大于目標形體尺寸時，可將目標看作磁偶極子模型，利用測得的三分量磁場強度值可反演出目標的位置實現定位。文獻[6]提出了一種利用單個空間點的磁場強度及磁場梯度建立線性方程的方法，該方法計算方式更為簡單，但非線性問題完全線性化會使得測量精度不能得到滿足，且單個空間點獲得的數據過于單一，降低了定位可信程度。文獻[7]基于磁偶極子模型設計了一種用二次差分矩陣法(SDMM)和頻譜匹配法(FDMM)進行目標定位與參數估計的方法，磁測系統海湖試驗或工程應用時，用于測量的陣列中傳感器數目有限，可以用于參數估計的數據量有限，小樣本統計會降低參數估計的準確度。文獻[8]提出了一種基于三維場的兩點法測量輻射磁矩，其偶極子反演模型也與之匹配，但該方法必須使傳感器陣元處在輻射源的徑向，無法對水下高速運動機動目標進行定位。

本文設計了一種新的磁偶極子反演定位算法，該算法基于磁傳感器陣列測得的水下異常動磁場磁場強度值，利用目標固有磁場實現被動測量，豐富了彈道測量中末彈道近場測量方式。目標磁感應曲線是閉合曲線，目標磁場輻射范圍較近，這為目標的高精度定位提供了基礎；借助電磁噪音抑制與電磁兼容技術，艦船附近磁場環境比聲場環境更易于實現目標的近場定位；此外，相對水聲定位系統而言，該測量系統的構建成本較低，維護與升級也更為簡單。

1 基于動磁測量的近場定位實現

水下目標磁場以固定頻率輻射展開，可以很好地與艦船設備造成的干擾磁場區分，通過濾波與降噪，可大幅度降低環境干擾，使目標磁場信號更為凸顯。首先采用帶通濾波提取出目標的交變磁場信息，然后運用同頻同相的線性解調方法將交變磁場信息轉換為類似于靜態磁場的幅度變化曲線，再采用磁偶極子模型反演出目標的位置信息和運動狀態[9-10]。

1.1 環電流下的磁偶極子模型

依據磁偶極子輻射規律與近場空間各點磁場強度計算方法，可將水下目標產生的磁場看作磁偶極子模型，環電流I產生的磁偶極子示意圖如圖1所示，其中空間任意一點M的球坐標為(r,φ,θ)，半徑為R的環電流產生的磁矩如式(1)所示。

圖1 環電流產生的磁偶極子

Pm=I·S·n

(1)

式中，S為環電流的面積,n為環電流平面的法向量。由文獻[6]知磁偶極子軸向產生的磁感應強度為

(2)

可以看出磁偶極子產生的磁感應強度大小與磁矩大小成正比，與距離的三次方成反比，即磁感應強度大小以距離r三次方的速率衰減。而磁偶極子在任意空間點M產生的磁感應強度的大小為[6]

(3)

1.2 目標交變信號變換與預處理

假設交變磁場信號為H0cos(ωt+ρ)，首先將采集的磁場信號通過傅里葉變換求出磁場信號的頻率f，可得ω=2πf。然后將原始信號分別乘以sin(ωt)和cos(ωt)，可以得到Sa(t)和Sb(t)的關系式：

Sa(t)=H0cos(ωt+ρ)·sinωt

(4)

Sb(t) =H0cos(ωt+ρ)·cosωt

(5)

分別將Sa(t)和Sb(t)通過低通濾波器，濾掉交流部分后通過三角函數反正切函數即可求得原始交變磁場信號的初始相位ρ，其具體求解過程如圖2所示。

圖2 初始相位的求取過程示意圖

將原始信號H0cos(ωt+ρ)與同頻同相相干載波相乘后得：

Sp(t)=H0cos(ωt+ρ)·cos(ωt+ρ)

(6)

經低通濾波后，乘以系數2便可得到原始交變磁場信號的幅度H0。對n個不同測點上采集的交變磁場信號逐一進行相干解調，便可得到交變磁場源運動過程中信號幅度H0的變化曲線。

1.3 磁偶極子反演定位算法

建立如圖3所示的坐標系，磁偶極子位于空間點P0(x0,y0,z0)，磁偶極矩為[8]

M0=Mx0i+My0j+Mz0k

(7)

圖3 磁偶極子磁場示意圖

它在空間任意一P(x,y,z)點所產生的磁位與磁場分別為

(8)

(9)

由此可得到M0在x方向的磁矩Mx0在P(x,y,z)點沿x，y，z三個方向所產生的磁場強度為

(10)

同理可得到My0和Mz0在空間點P(x,y,z)上所產生的磁場強度為

(11)

(12)

式中，單位采用MSK制，磁場強度的單位為A/m，若令：

(13)

(14)

(15)

則磁偶極矩M0產生的磁場強度可表示為矩陣形式：

(16)

記為

H0=F0·M0

(17)

目標的磁定位問題就是求解下面非線性無約束方程組的最優化問題：

(18)

式中，F0為關于目標位置的系數矩陣;M0為磁場模型的磁矩參數;H0為三分量感應式磁通門傳感器測得的交變磁場信號經過相干解調后的磁場強度變化曲線;目標函數E0為定位參數的非線性函數。

1.4 非線性無約束優化計算方法

在式(18)描述的求解目標磁定位問題的無約束非線性優化問題中，由于方程呈現一定的非線性，必須選擇合適的機器學習優化算法來實現磁目標定位的無差、快速、穩定收斂等要求。這里擬采用一種非線性優化中的擬牛頓法，配合BFGS算法，該方法是數值效果最好的擬牛頓法，并且具有全局收斂性與超線性收斂速度，可以實現磁目標定位問題中的多數據融合與數據快速處理的目標。

牛頓法的特點是收斂速度快，迭代次數少，擬牛頓法在此基礎上引入了Hessian矩陣的近似矩陣，減少Hessian矩陣的計算中不斷求逆的過程，它的收斂速度介于梯度下降法與牛頓法之間。擬牛頓法適用于非海量數據環境下的優化，雖然每次迭代不像牛頓法一樣保證最優方向，但是Hessian近似矩陣始終是正定的，因此算法始終朝著最優化的方向搜索[11]。

擬牛頓法的基本思想是用Hessian矩陣的某個近似矩陣來代替，首先泰勒公式如下：

(19)

泰勒公式是用一個近似多項式來代替復雜的函數表達式。對于擬牛頓法來說，構造二次型：

f(X)=f(Xi+1)+(X-Xi+1)T▽f(Xi+1)+

(20)

忽略高階無窮小部分，進而求導得到：

▽f(X)≈▽f(Xi+1)+Hi+1(X-Xi+1)

(21)

令X=Xi，那么得到：

(22)

Bi+1[▽f(Xi+1)-▽f(Xi)]≈Xi+1-Xi

(23)

方程(23)就是擬牛頓方程，所以關鍵的問題就是如何求解每一步的Bi+1。擬采用BFGS算法計算，迭代如下[11]：

(24)

(25)

這就是BFGS算法的原理，這樣可以迭代求解每一步的Bi+1，進而實現磁定位目標函數擬牛頓法的非線性優化計算。

2 動磁源定位試驗及定位算法效用分析

當前不具備海湖水下試驗的條件，擬采用陸上試驗的方法構建系統，驗證算法的定位準確性及擬牛頓法的計算難易程度。陸上試驗是水下系統試驗的常用手段，只要滿足一定的條件，也可獲得有參考價值的規律。陸上試驗時，必須對試驗環境做相應的要求，試驗場地應遠離工廠等電器設備較多的地域，減少50 Hz工頻及倍頻程的電磁干擾；動磁源載體運動時必須滿足平穩、勻速的要求，減弱運動振動時傳感器線圈切割地磁磁感線造成的振動電磁干擾，在運動載體上布防減振材料。

2.1 基于磁測陣列的動磁源近場定位試驗方法

建立如圖4所示的坐標系，將12只感應式磁通門傳感器按圖示位置布置，每個傳感器連接一枚數據采集卡，對采集到的磁信號進行寄存、濾波、格式轉換并與上位機程序通信，為總線提供接口。總線采用CAN卡局域網，收集數據與計算機進行信息交互，為應用程序提供命令流與數據流通道。上位機軟件是基于CVI平臺自主開發應用程序，該平臺包含很多與測試、數據采集、快速信息處理、信息融合有關的數據庫與庫函數，利于軟件開發。該程序可以實現如下功能：選擇通道、波特率、采集頻率、濾波方式；用指示燈的強弱表示各傳感器信號強度大小，設置閾值后，高于閾值的信號燈會被點亮；用不同顏色曲線顯示各傳感器采集信號的時域變化，并將采集到的三分量磁場強度矩陣存儲在計算機上，有待后期利用磁偶極子模型反演動磁源位置信息。

圖4 動磁源相對磁測陣列運動態勢圖

動磁源采用磁性輻射棒，波形發生器可產生不同類型的波形信號，實驗時采用正弦波，幅值為20 V，頻率為450 Hz，占空比為50%，偏置為0，功放放大倍數為兩倍。輻射棒產生的磁矩與加在上面的功率成正比，磁場輻射強度與磁矩成正比，與距離的三次方成反比，如式(2)與式(3)所示。

為保證輻射棒可以勻速平穩運行，減少振蕩誤差，用電動車作為載體，將輻射棒置于電動車上，下面墊減振材料。磁源運動軌跡如圖4箭頭所示，輻射棒從7#傳感器附近出發，向12#運動，到達12#后轉向1號，再沿著1#～6#的途徑返回。

試驗共進行兩次，一次緩速(約3 m/s)，一次快速(約6 m/s)，測試系統性能與驗證磁偶極子反演算法定位準確性、精度，并在過程中實時測量輻射源在傳感器陣列中的實際位置，與定位坐標進行對比，求其相對定位誤差。

2.2 動磁源定位結果及算法效用分析

為方便與實際位置比較，采取T0～T14這15個時刻點的三分量磁場強度值作為輸入，采用式(18)所示的目標函數進行定位。動磁源緩速(約3 m/s)運動軌跡如圖5所示，快速(約6 m/s)運動軌跡如圖6所示，其橫縱坐標單位為米(m)，滿足圖4建立的坐標系。圖中光滑曲線是利用算法定位后，由定位點P0～P14連接起來的折線，而“*”點則為同一時刻動磁源的實際測量位置，限于篇幅，具體定位點與測量點坐標不再一一陳列。觀察圖5與圖6，定位位置與實測位置比較接近，誤差分析如表1所示,表中F表示Fast快速通過(約6 m/s)，L表示Low緩速通過(約3 m/s)，矢量差模值的單位為米(m)，表中快速與緩速通過的時刻點T分別屬于兩段時間，在不至于混淆的前提下，方便制表用統一符號表示。

圖5 輻射棒緩速通過陣列運動軌跡圖

圖6 輻射棒快速通過運動軌跡

T矢量差模值(F)相對誤差(F)矢量差模值(L)相對誤差(L)T00.132.40%0.081.68%T10.181.84%0.171.84%T20.020.12%0.060.37%T30.271.19%0.120.54%T40.331.13%0.20.68%T50.260.77%0.20.58%T60.340.97%0.441.24%T70.370.10%0.782.01%T80.481.37%0.130.34%T91.213.66%0.130.37%T100.010.03%0.210.69%T110.451.90%0.230.93%T120.311.65%0.030.16%T130.221.58%0.291.97%T140.252.35%0.10.84%

取坐標原點到算法定位點或實際測量點的矢量作為參考，分別命名為算法定位矢量Pi與實際測量矢量Ti，作兩矢量的差值Pi-Ti， 取其絕對值|Pi-Ti|，命名為矢量差模值，而相對誤差的計算滿足：

(26)

緩速通過時，最小的定位誤差為0.16%，最大的定位誤差為2.01%，平均誤差為0.95%；快速通過時，最小的定位誤差為0.03%，最大的定位誤差為3.66%，平均誤差為1.40%。所有定位誤差都低于工程目標要求的4.0%的指標，具有較高的定位精度，緩速通過的平均定位誤差要低于快速通過的平均定位誤差，隨著動磁源運動速度的增加，定位精度會略有所降低。該誤差是最終合成誤差，包括了測量誤差、動磁源近場定位系統誤差、隨機誤差、計算誤差和模型誤差，根據誤差合成原理，計算誤差和模型誤差要低于最終誤差(4%)這個水平，證明本文設計的磁偶極子反演定位算法與運用擬牛頓法及BFGS算法求解是可行的，并具有較高精度，可滿足工程要求，具有應用前景。

3 結束語

本文設計了一種新的磁偶極子反演定位算法，可解決目標函數的無約束非線性優化問題，基于磁測陣列采集到的磁場強度向量，及采用擬牛頓法非線性優化算法(BFGS)等計算方法，可實現對動磁源的近場定位。通過搭建相應系統，動磁源緩速和快速定位試驗，對算法定位坐標與實際測量坐標進行對比，定位誤差不超過4.0%，平均誤差為1.40%，得出該算法定位位置精確，計算方法得當，可以實現多信息融合與數據的快速處理。該算法在水下異常磁場近場定位與測量、魚雷末彈道與脫靶量測量、過靶態勢判斷、靶場建設、新武器試驗與研發等領域具有重要意義。