MATLAB在線性代數實驗教學中的應用研究

杜紅林

摘要：借助MATLAB數值計算應用軟件，提高高等學校工科專業的學生學習線性代數課程的學習興趣。本文以解決矩陣特征值的教學為實例，闡述了通過MATLAB輔助線性代數實驗教學的應用價值。

關鍵詞：MATLAB;特征值;特征向量;幾何意義

中圖分類號：TP3? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）20-0114-02

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線性代數是大學理工科學生所必備的基礎知識和重要的數學工具，它一方面是學生學習后繼專業課程的基礎，另一方面，由于線性代數的高度抽象性，它又是讓學生望而生畏的枯燥課程。因此，作為教師，如何改進新的教學手段，引進新的教學方法，采取更加合理的教學模式，幫助學生更好地理解線性代數課程的理論知識，并讓學生能夠靈活應用到實踐中去，這是深化高等學校工科專業線性代數課程實驗部分教學改革的主要途徑之一，同時也是該課程任課教師在教學過程中值得思考和研討的問題[1-4]。

以往的線性代數教學偏重的完備課程理論體系學習，過于注重的基本概念的掌握，忽視相應的與實踐相結合，采取嚴格的數學邏輯思維訓練和計算量大的教學模式，會使得學生學習起這門課程內容感覺枯燥、抽象，導致失去主動學習的興趣和熱情。進入21世紀，隨著多媒體輔助教學技術的發展，借助MATLAB數學軟件，將實驗教學融入線性代數的課堂教學，不僅可以讓學生擺脫繁重乏味的思考、不必要而又復雜的數學演算，而且可以加強學生對書本中抽象概念的理解和掌握。下面結合線性代數中的實驗教學，本文將談談借助MATLAB軟件改進線性代數教學的一點體會予以分享。

1 MATLAB的優越性

上世紀70年代中期，美國新墨西哥大學的計算機系的系主任Cleve Moler教授在給學生講授線性代數時，發現學生在繁瑣的計算上花了太多時間，為此，他為學生編寫了一個接口程序，取名為MATLAB，即Matrix Laboratory的縮寫，意思為“矩陣實驗室”， 這就是 MATLAB這個應用軟件產生的背景。1984年，工程師John Little覺察到MATLAB的應用前景不應該僅是單純的數學領域，更應該是廣闊的工程領域。于是，他與Cleve Moler成立了MathWorks公司。由于MATLAB強大的數值計算功能，很快使其在眾多軟件中脫穎而出。目前，在國內外各大高校中，MATLAB已成為理工科專業基礎課程必備的基本教學工具。

在線性代數教學過程中，可以充分利用MATLAB軟件強大的計算功能、程序設計語言簡單、繪圖功能方便等特點將抽象的概念變得直觀，將復雜的數學計算變得簡潔，加深學生對概念的理解，增強學生對線性代數的學習興趣，培養學生獲取知識的主動性。

2 借助MATLAB數值計算應用軟件進行實驗教學

在線性代數的教學過程中，大量復雜而又繁瑣的計算分散了學生理解問題本身的精力，造成了學生們忙于應付計算，輕視了方法原理的學習，而利用MATLAB軟件進行實驗教學，可以較好地解決這一問題。

接下來就以線性代數中的一個重要內容為例說明MATLAB的作用。

實驗內容：特征值、特征向量的概念和意義[5]。

線性代數中許多抽象概念的講解，往往過于強調抽象思維能力而忽視了空間想象能力。例如，對于矩陣的特征值與特征向量的學習，學生往往只知其一：只知道如何套用公式求矩陣特征值和特征向量;不知其二：不知道特征值和特征向量究竟表示什么，有什么幾何意義。在教學過程中，可以借助MATLAB軟件，通過如下的方式幫助學生理解這一抽象的概念。

在MATLAB命令窗口輸入eigshow命令[6]，可以打開一個特征值、特征向量的演示窗口，其中系統默認的矩陣[A=1434112]，綠色線段表示單位向量[x=（1， 0）T]，藍色線段表示向量[Ax]。當鼠標在單位圓上移動[x]，矩陣[A]作用到向量[x]后的結果[Ax]也隨之變化。

圖1顯示了向量[x]在矩陣[A]的作用下的變化過程，可以看出向量[Ax]的軌跡是一個橢圓。那么，什么是特征值、特征向量呢？從數學的定義看，滿足[Ax=λx]的非零向量[x]稱為特征向量，[λ]稱為特征值。這是一個抽象的數學概念，但通過給學生演示[x]和[Ax]的運動軌跡，可以直觀地觀察到：所謂特征向量，指的是與[Ax]平行的向量[x]，此時矩陣[A]的作用僅僅是把單位向量[x]拉伸[λ]倍，[λ]即為特征值。圖2顯示了矩陣[A]的特征值和特征向量。第一個特征值是正數，所以[Ax]位于特征向量[x]的頂部，[Ax]的長度即為特征值，在這個例子中為[54]。第2個特征值是負數，所以[Ax]平行于特征向量[x]，但方向相反，[Ax]的長度為[12]，所以相應的特征值為 [-1/2]。

細心的學生會發現，圖2中的兩個特征向量很接近但并不完全落在橢圓的長、短軸上。那么，可以引導學生思考：對于什么樣的矩陣，特征向量恰好落在橢圓的長、短半軸上？如果矩陣奇異，那么橢圓又會發生什么樣的變化？通過上述的引導和討論，我們選擇對角矩陣[A=540034]和奇異矩陣[A=1212]，然后觀察[x]和[Ax]的運動軌跡，見圖3。

通過直觀演示，結合簡單運算，可以發現，對角矩陣的特征向量剛好落在橢圓的長半軸和短半軸上，（實際上，如果矩陣[A]對稱，那么其特征向量一定落在橢圓的長、短軸上），而單位向量[x]在奇異矩陣作用下的軌跡退化成了一條線段。

3 結語

在線性代數課堂上引入實驗教學，將抽象的高等數學的學習與Matlab這款應用軟件相結合，無疑是一種行之有效的計算機輔助線性代數教學的學習途徑，有利于提高學生學習線性代數的興趣，提升教學效果，促進現代教學改革。同時不僅消除了學生對高等數學學習的枯燥和抽象，還能提高學生運用數學知識解決實際問題能力。

參考文獻：

[1] 徐利治.關于線性數學教育與數學改革的看法及建議[J].數學教育學報，2000，9（2）：1-2.

[2] 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010，13（6）：13-15.

[3] 周琳.將數學實驗融入線性代數課的研究與實踐[J].遼寧科技學院學報，2008，10（2）：63-64.

[4] 金波.數學實驗在《線性代數》教學中的應用探索[J].科技信息，2013（7）：319-319.

[5] 同濟大學數學系.工程數學，線性代數.第6版[M].高等教育出版社，2014.

[6] Moler C B.Numerical Computing with MATLAB：Revised Reprint[M].SIAM，2008.

【通聯編輯：張薇】