基于修正羅德里格參數的繩系衛星動力學模型

唐溢敏 戰興群

上海交通大學，上海200240

空間繩系衛星系統是指通過系繩將2個及2個以上的宇宙空間飛行器連接起來完成組合飛行任務的空間衛星系統。在衛星動力學研究領域，繩系衛星系統的研究是非常具有挑戰性的。通常情況下，該系統是一個相對簡單的二體系統，即由一顆質量較大的母星，一顆相對小型的衛星和一根質量可以忽略的系繩構成[1-2]?？臻g繩系衛星系統有以下應用：通過系繩完成空間探測和對其他遠距離星體的遠程控制；通過系繩進行貨物運載[3-4]；通過系繩兩端衛星的高度差來探知重力梯度的變化[5]；通過子星和主星動量的交換來完成衛星升軌、降軌和入軌等多個任務[6]；通過電動力系繩在電磁力場的運動進行太空發電或無燃料加減速[7]；系繩連接多顆衛星可以實現空間編隊飛行，進行衛星間的相互協作[8]。

在20世紀80年代以前的繩系衛星模型相對簡單，學者通常將繩系衛星系統看作一個整體，將系繩看作是一根可以伸縮的剛性桿或者彈簧，再將此剛性桿和彈簧的伸縮和扭轉根據特定的限制進行模型假設。90年代美國與意大利合作的繩系衛星系統TSS-1是由20km長的絕緣系繩、主星和子星組成，在系繩張緊拉直時，整個繩系衛星系統的質心運動可以看成是傳統航天器的質心運動[3]。BEDA P.B.研究了啞鈴模型在受到大氣影響時平衡狀態下的姿態穩定性問題[9]，Watanabe N.和Onoda J.基于啞鈴模型研究了低軌道繩系衛星系統在重力梯度的影響下，面內的擺角運動控制問題[10]。90年代之后，繩系衛星的應用潛力和前景引起了科學家的廣泛關注，繩系衛星模型的建立和發展也得以迅猛發展。繩系衛星系統的動力學模型由連續模型向離散模型和柔性繩模型發展，這些模型在動力學姿態描述上的精度比剛性的啞鈴模型和桌球模型高，其計算復雜度也高很多[11-12]。朱仁璋等選取系統質心與主星質心一致采用繩系珠式模型(Bead Model) 建立了仿真度更高的繩系衛星系統動力學模型[13]。馮杰等研究了系繩質量、系統質心的變化及狀態和控制限制約束，建立了繩系衛星網捕的動力學模型[14]。鄭鵬飛等建立了繩系衛星系統受大氣阻尼干擾下的系繩展開動力學和衛星的姿態動力學模型[15]。

在動力學方程中，常見的姿態描述參數主要有：歐拉角、等效旋轉矢量法、方向余弦矩陣、四元數、修正羅格里格參數及其變化形式[16]。歐拉角是一組由3個元素組成的參數，對旋轉描述無冗余，但在旋轉角為90°時產生奇點。方向余弦矩陣和歐拉角可以相互推導，有9個分量，無奇點，但增加了計算復雜度。四元數是一組滿足特定條件的4個元素的參數，無奇點，但對旋轉描述有一個參數的冗余。修正羅格里格斯參數(Modified Rodrigues Parameters，MRPs)是一組由三個元素組成的參數向量，在旋轉角為2π時，有奇點。在旋轉角為0時，修正羅德里格參數的陰影(Shadow Modified Rodrigues parameters)有奇點。將修正羅德里格參數和它的陰影參數結合起來，可以得到一組無冗余無奇點的姿態描述參數[17]。

蒙特等采用MPRs描述衛星的姿態以降低濾波器的維數并有效避免了使用四元數求解狀態誤差協方差參數時的奇點[18]。靳永強等采用傳統的修正羅德里格參數建立了無陀螺的狀態觀測模型和矢量觀測模型[19]。張紅梅等發揮UKF非線性濾波方法和MRPs的優勢設計了用MRPs描述的無陀螺飛行器的無奇點的姿態估計器[20]?？梢钥闯?，MRPs參數以及MRPs及其陰影的結合在姿態描述上具有廣泛應用，且能有效解決使用四元數和歐拉角進行姿態描述的諸多問題，比如奇異問題和計算復雜度大等問題。

在繩系InSAR系統中，系繩將2顆及以上SAR衛星連接，通過快速展開至目標構型完成地形測繪等多個任務。在某些特定的任務要求下，系繩需要與軌道平面保持垂直[21]。歐空局通過配置繩系飛網捕獲機構或者繩系飛爪捕獲機構進行目標捕獲的ROGER(Robotic Geostationary Orit Restorer)(2002年)可用于捕獲空間碎片[22]。但繩系衛星的子星和目標星交會時，經常會出現繩系衛星和目標星不在同一軌道高度，或者不在同一軌道平面內(特別是ROGER計劃中的飛爪型ROGER攜3個飛爪，可同時飛出，形成對較大目標的包圍，進行捕獲)，勢必會面臨目標星不與繩系衛星系統共面和共軌的情況。

針對以上問題，提出了一種利用修正的羅德里格參數(MRPs)結合其陰影來替代傳統的歐拉角進行繩系衛星剛性動力學模型的描述方法，該模型有效消除了原模型在面外角為90°時的奇點問題。為驗證其可行性，首先對模型進行了推導和證明，驗證了修正羅德里格參數與其陰影切換的數值點選取的合理性，然后進行了仿真實驗，實驗結果證明，該方法能在消除奇點的優勢、不改變歐拉角的連續性變化下，建立繩系衛星動力學模型，可應用于繩系衛星異面交會、繩系InSAR系統等多個場景下。

1 基于修正羅德里格參數的動力學模型建立

1.1 基于歐拉角的動力學模型描述

(1)

可以看出，該動力學方程有2類奇點：lc=0和cosφ=0。lc=0時：系繩長度無限趨于0，導致繩系姿態運動不穩定，為消除此類奇點，我們選擇在系繩展開/收回階段或完全展開時，即繩長大于一定值的情況下，應用此方程。cosφ=0：出現在面內角方程中，此類奇點出現在面外角為90°時，即系繩與軌道面垂直的情況下。為消除該類奇點，之前有文獻提出通過兩組不同的歐拉角的動力學方程組的轉化來消除奇點的方法，但此方法大大增加了算法的復雜度[24-25]；也有文獻[26]提出在|cosφ|<10-4時，取|cosφ|=10-4，但此類方法需要在保證面內擺角精度的前提下使用，有所局限。本文提出用修正的羅德里格參數和其陰影來替代歐拉角作為動力學方程的姿態描述參數，能夠在確保精度和不增加大量算法復雜度的前提下，有效保證奇點的消除。

1.2 模型推導及建立

假設系繩的長度和方向已經可以控制在一定精度下，且不存在松弛和彎曲的情況，我們可以將系繩看成一根剛性桿，式(1)可以化簡為：

(2)

(3)

修正羅德里格參數(Modified Rodrigues Parameters，MRPs)[1]是一組由3個元素組成的向量，對旋轉描述無冗余，表示如下：

(4)

其中，σ∈R3；e為歐拉軸；Θ為歐拉旋轉角，在Θ=±2π+4kπ,k∈Z時，無法運用此式描述姿態旋轉。MRPs也可以由四元數{ε,η}表示為σ=ε/(1+η)，其中ε∈R3，η∈R。

MPRs的導數與旋轉角的關系描述如下：

(5)

其中，ω為系繩本體坐標系相對于軌道坐標系的旋轉角速度在本體坐標系中的表示，G(σ)的形式如下：

(6)

G(σ)具有以下特性：

(7)

G(σ)-σ×=GT(σ)

(8)

(9)

MRPs的陰影可表示如下：

(10)

也可以由四元數表示為：

(11)

可以看出，σT的奇點在Θ=4kπ,k∈Z。

(12)

(13)

(14)

根據旋轉特性得到：

(15)

對式(15)求導并與式(14)聯立，可以建立歐拉角與修正的羅德里格參數的轉換關系，即：

(16)

(17)

其中，Cφ=cosφ,Sφ=sinφ,Cθ=cosθ,Sθ=sinθ。

用修正的羅德里格參數表示姿態旋轉矩陣如式(18)：

(18)

結合式(3)，得到此時歐拉角與修正的羅德里格參數的關系如式(19)：

(19)

聯立式(5)和(15)得到

(20)

將式(17)、(19)和(20)代入式(2)，得到基于修正的羅德里格參數的繩系衛星系統動力學模型如下：

(21)

其中，D=|C|,

(22)

1.3 可行性分析

若用修正的羅德里格參數描述旋轉，由旋轉連續公式得到：

(23)

其中，

(24)

(25)

2 仿真結果

圖1 MRPs隨時間的變化值

圖2 cosφ隨時間的變化值

從圖1和2中可以看出，在t<4.05s時，MRPs參數過度平緩，cosφ可以由MRPs參數表示，見式(19)。在圖 2中，cosφ有2次平穩經過為0的點(標注為實心點)，說明該模型能夠消除原使用歐拉角的動力學模型中面外角為90°時的奇點問題。

圖隨時間的變化值

3 結論

提出了一種將修正羅德里格參數及其陰影結合建立繩系衛星系統動力學模型的方法。使用該模型對繩系衛星系統的姿態變化進行仿真，能夠有效解決基于歐拉角的繩系衛星系統動力學模型在繩系衛星系統的面外角為90°存在奇點情況下不穩定的問題，為繩系衛星系統動力學模型的全局分析提供了可行的解決方案。而且，修正的羅德里格參數及其陰影在轉換點處的非連續性轉換，不會影響到歐拉角的連續性變化和表示，具有很強的延展性和實用性。

本文證明了該模型在消除奇點問題上的可行性，后續針對所提出的非線性的動力學模型的控制方法需要作進一步的探討；另外，修正羅德里格參數和四元數同樣不具有直觀的物理意義，仍然需要將MRPs轉化為歐拉角進行觀察和研究，這增加了一定的計算復雜度。