基于觀測器的伺服系統反饋線性化控制

王 琳，謝敬華，鄧 華

(1.中南大學 機電工程學院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410083)

高精度多軸運動平臺被廣泛地應用于機械領域中,特別是重載高精度多軸運動平臺得到了越來越多的應用，如中子譜儀樣品定位運動平臺。在該中子譜儀樣品定位運動平臺中，直線位移的精度可達到30 μm，而平臺的負載可以大范圍地變化(1～1000 kg)，這就導致系統中的非線性摩擦是不斷變化的[1-2]。不確定的摩擦會給系統帶來很大的控制難度[3]。針對一般的多軸運動平臺，學者們提出了很多控制方法[4-6]，如魯棒性控制、自適應控制、模糊控制和反饋線性化等。

一直以來有很多關于反饋線性化控制策略的研究。沈陽工業大學的孫宜標等人將非線性反饋策略應用在一般直線伺服系統中，同時使用滑模觀測器對動子的速度和加速度進行了觀測，在速度跟蹤性能方面取得了較好的效果[7]。北京理工大學的趙玉壯等人在對整車懸架系統進行反饋線性化的過程中，使用卡爾曼觀測器對懸架振動狀態進行了觀測[8]。中南大學的Zhong Guoliang等人提出了一種摩擦自適應的全局滑模控制策略，用于系統參數在一定范圍內變化的伺服系統的高精度控制[9]。南京理工大學的Yao Jianyong提出了一種自適應魯棒方法對直流電機進行控制，同時采用擴展狀態觀測器對系統中相關參數進行觀測，實驗證明應用該策略的直流電機系統取得了較高的控制精度[10]。北京航空航天大學的Liu Chao利用反饋線性化策略將電磁軸承-轉子系統線性化后，使用PID控制方法進行控制，同時應用擴展狀態觀測器對系統中狀態進行實時觀測,取得了較好的控制效果[11]。反饋線性化是一種針對非線性伺服系統較好的可以借鑒的方法，但是重載伺服平臺的模型必須是已知且準確的。所建立的合適的摩擦模型中參數是不斷變化的，加之一般的速度傳感器通常引入較大的測量誤差。針對這種情況采用擴展卡爾曼觀測器對模型中不斷變化的參數和速度同時進行實時觀測，然后采用反饋線性化方法將系統精確線性化后，再采用線性控制方法設計控制器，最后，對本文的控制方案進行了仿真驗證。

1 物理模型

多軸測試運動平臺的精度是影響測試效果的關鍵問題之一。中子譜儀重載多軸運動平臺如圖1所示，可實現四維運動：X、Y、Z軸直線運動部分和繞Z軸旋轉的Rz運動部分。根據平臺系統特性，單軸伺服系統可以簡化如圖2所示。

圖1 中子譜儀多軸運動平臺結構示意圖

圖2 單軸伺服系統簡化圖

電機的動態數學模型可以表示為

(1)

τ(t)=c1i

(2)

s=hθ

(3)

包含摩擦非線性的平臺伺服系統運動方程為

(4)

式中，J為驅動子系統的轉動慣量；c2為阻尼系數，k為剛度系數，k和c2均大于零；τ(t)為電機輸出轉矩；Tf為系統折算到電機軸上的摩擦力矩；Td為系統中的不確定項，其中包括建模誤差以及系統所受到的未知擾動，D為未知擾動的上界，即，|Td|≤D。

基于中子平臺所采用的高精度的伺服系統，為提高系統的控制精度，應盡可能多地考慮非線性影響因素，如非線性摩擦、建模誤差和外界不確定擾動等。

分析系統中的非線性摩擦特性，如下摩擦力矩模型能較好地表示在重載高精度伺服系統中的摩擦力矩。

(5)

式中，vs為切換速度；fc和fs分別為庫侖摩擦和靜摩擦。

為了方便設計控制器，將系統的模型進行整理，系統的狀態空間方程可以表示為

(6)

y=x2

(7)

2 非線性反射控制策略

為得到y跟x的關系，對y進行求導，得

(8)

分析系統的特性可知，該系統適合反射非線性系統特性。為更好地控制誤差的收斂方式，將式(8)轉化為

(9)

(10)

式(9)和式(10)表明了y和u之間的關系。首先，不考慮系統中未知擾動項，控制器可以設計為

(11)

式中，v為控制率的輔助項。

對比上述公式，可得

θ(3)=ν

(12)

定義誤差e=θd-θ，設計v為反饋線性化的形式為

(13)

式中，k1，k2，k2為大于0的常數。

3 基于擴展卡爾曼濾波器的狀態跟參數估計

精確的非線性反射控制的前提就是能得到系統的準確動力學模型。準確動力學模型的獲得需要用到準確的速度值和參數值，通常的做法是對傳感器測量的位移信號進行一階微分來求取速度。但是對于像中子衍射多軸平臺這樣的重載低速運行的設備而言，數字微分通常放大傳感器噪聲，使得獲得的速度信號無法直接用于動力學模型的計算。系統中負載慣量大范圍變化后，模型中參數也會發生變化。采用擴展卡爾曼觀測器對速度[12]和系統摩擦模型中參數進行估計[13]。

假設有一離散的非線性系統的動力學方程為

(14)

式中，F[X(k)]和H[X(k)]為非線性方程;X(k)為狀態向量；Z(k)為輸出向量；U(k)為輸入向量；W(k)和V(k)分別假設為零均值的過程噪聲和測量噪聲。

系統模型離散化后

(15)

式中，X1(k)、X2(k)、X3(k)分別為電機的輸入電流，轉角，轉速度；Ts為采樣時間，由于系統非線性項的存在，對F[X(k)]和H[X(k)] 取雅克比變換

(16)

則可以得到

(17)

式中，

故式(16)可以表示為

(18)

最后，擴展卡爾曼波觀測器可總結為如下。

(1) 預測部分。

(19)

P-(k+1)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)

(20)

(2) 修正部分。

K(k)=P-(k)DT[HP-(k)HT+R(k)]-1

(21)

(22)

P(k)=[I-K(k)H]P-(k)

(23)

4 仿真實驗結果驗證

為驗證控制策略的有效性，輸入階梯型理想位移。測量末端的位移，用EKF來實時估計系統中的速度，從而進一步用非線性反射控制的方法進行平臺控制效果的驗證。過程噪音和測量噪音協方差矩陣取為

(24)

R(k)=3.5×10-5

(25)

(26)

在仿真軟件包MATLAB/Simulink平臺上進行了系統仿真。切換速度初始值設置為0.018 rad/s,所采用的系統參數如表1所示。

表1 仿真參數

將輸入的角位移取值為階梯形曲線進行驗證實驗，時間設為30 s，實驗結果如圖3～圖7所示。從圖3中可以看出，使用卡爾曼觀測器對參數值和速度準確值進行觀測后，位置跟蹤誤差能在一個較短的時間內到達一個較小的區間。從圖4中可以看出，每次位移方向轉變時，速度的震蕩比較大，但該卡爾曼觀測器較好地觀測到速度的準確值。圖5中顯示了切換速度的觀測值，該值在原來固定參數0.05 mm/s附近不斷振蕩。圖6中顯示了庫侖摩擦的觀測值在原來固定參數0.28 N·m附近不斷振蕩。圖7中顯示了靜摩擦的觀測值在原來固定參數0.34 mm/s附近不斷振蕩。

圖3 位移跟蹤曲線

圖4 預測速度跟真實速度

圖5 切換速度的觀測值

圖6 庫侖摩擦觀測值

圖7 靜摩擦觀測值

5 結束語

對多軸中子衍射運動平臺進行了數學建模，由于速度傳感器通常引入較大的測量誤差，一般不安裝高精度的速度傳感器，故所建立卡爾曼觀測器對速度和相關參數進行觀測，同時將準確的速度值和參數值實時應用到非線性反射控制策略中，仿真實驗結果表明，觀測的速度較準確，驗證了觀測器的有效性，系統的位置跟蹤也取得了較好的結果，可為平臺的測量技術和控制提供一定的參考和借鑒。