神奇的e

高桂英

摘 ?要：眾所周知是一個無限不循環小數，其值約等于2.718281828459……，這是一個超越數。在科學技術中用得非常多，常見的是以為底的指數函數x和以為底的對數函數。而科學技術中一般不使用以10為底數的對數，而選擇以為底數，這樣做是因為許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”。該文簡明扼要地闡述了在生活中的應用及在自然界的體現，并用不等式法通俗易懂地證明了重要極限。

關鍵詞：螺線 ?自然律 ?極限

中圖分類號：B516.46 ? 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）06（b）-0169-02

1 ?生活中有趣的

在歷史上，自然對數的底與一個商人借錢的利息有關。它描述的是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。通俗地講，就是現在講的復利計息的問題。也就是將利息并進本金再生利息。但是本金與利息和的多少取決于你選擇的計息周期而定。假設有多種計息周期可供選擇：你可以選擇一年里只計一次利息;也可以選擇每半年計一次利息，一年里計兩次;同樣也可以選擇一個月計一次利息，這樣一年可以計12次;甚至還可以選擇1d、1h、1min計一次利息。很顯然計息周期越短，一年下來本金和獲得的利息總和就越多。現舉例說明：如果某人將10000元存入銀行，為了計算方便，利息按10%計算，那么一年下來，所得利息為1000元，這樣一年后本金和利息的總和為11000元。但是如果假設不管存款時間的長短，利息始終保持不變，均按10%計利息。某人將存款存入銀行半年后取出，則所得的本金和利息總和為10500，然后此人將這10500作為本金再次存入銀行半年，這樣全年下來，此人共得本金10500+10500×10%×1/2=11025，顯然比按一年取一次的方式多獲利25元。可見計息周期越短，本金與利息總和就會越高，因此可以設想，如果計息周期無限制地縮短，比如每分鐘計一次，甚至每秒，或者更短每一瞬間（理論上來說），會出現什么狀況呢？本金與利息和會無限制地加大嗎？答案是不會，而且它的數值會穩定下來，如果將這10000元記作一個單位，本金與利息將趨近于一極限值，就是我們提到的。

如今是互聯網、大數據時代，人們可以隨時隨地使用智能手機操作自己銀行卡上存取款業務。特別是年輕人，有了零用錢不會讓它白白躺在靜無聲息的銀行卡上，而是借助手機銀行讓它動起來，進而給自己帶來利益。如果隨著時間的縮短，本金和利息總和可以無限地增大，那將會出現一個什么樣的景象？所有人都會是低頭族，人們只要時時刻刻地操控自己的手機，就會帶來想要的收益。而現實是，無論選擇怎樣的計息周期，帶來的利益是有上限的。

當然的最初出現應該是觀察出來的，而不是用嚴謹的證明得到的。因為當時還沒有極限的概念。第一次提到該常數是約翰·納皮爾在1618年在公布的，直到1727年或1728年歐拉在未發表的爆炸力論文中開始使用作為常數，一直到今天。

2 ?自然界的美也與息息相關

如果你是一個熱愛生活的人，你就會發現生活中處處都有美麗的曲線。比如，平靜的湖面上輕輕蕩開的漣漪、安靜的小村莊里傍晚時分升上藍天的一縷裊裊的炊煙、夏天小雨過后數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛留下的足跡，這些自然界美妙的曲線都是以渦形或螺線形的形式存在的。而這些螺線都是可以用或由經過一定的變換得到的指數形式來表達。我們把或由經過一定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是，是“自然律”的一種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。比如對數螺線、阿基米德螺線等。自然界中螺線相當普遍，就像上面提到的生活中的美景，英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感嘆：渦旋形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。而渦旋形或螺線形是無所不在，一抬頭、一伸手都能觸摸得到，比如人的內耳結構是蝸旋狀的，我們的指紋、發旋也是蝸旋狀的。這是看得見的，還有看不見的。蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，核酸結構也是螺旋狀的。誰能說清……給數學家帶來多少方便和成功？人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。是“自然律”的精髓，在數學上它是：當n趨近無窮時，函數的極限。

3 ?重要極限

上面提到的復利計息，實際上就是這個重要極限的結果。當n趨于正無窮或負無窮時，函數的極限就等于。這也是高等數學中的一個重要極限，符合型的冪指函數都可以使用這個重要極限計算。

證明這個極限的方法很多，一般高等數學教材中通過二項式展開放大來證明數列單調上升，并估計出上界為3，盡管這種方法很直接，但是很麻煩。

數學講求規律和美學，可是圓周率和自然對數一樣基本的常量卻是混亂，就如同兩個“數學幽靈”。但通過歐拉公式二者又相遇了。對任何實數x，有，這就是歐拉公式。將代入，有 ，即，這就是著名的歐拉恒等式。理查德·費曼稱這恒等式為“數學最奇妙的公式”。它也是數學里最令人著迷的公式之一，它將5個最基本的常數聯系到了一起——兩個超越數——自然對數的底，圓周率，兩個單位——虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。因此，數學家們評價它是“上帝創造的公式，我們只能看它而不能理解它”。

這就是神奇的數字，既熟悉又陌生，默默地參與到生活中，又有著自己特定的數值，還參與創造了無數個美的境界，這也正是的魅力之所在。

參考文獻

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