高密度電法反演分辨率數(shù)值模擬與分析

孟凡松, 張 剛, 趙衛(wèi)東， 陳夢君, 李懷良

(1.西南科技大學(xué) a.環(huán)境與資源學(xué)院b.核廢物與環(huán)境安全國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，綿陽 621000；2.四川省核工業(yè)地質(zhì)局二八一大隊(duì)，西昌 615000)

0 引言

高密度電法屬于陣列勘探方法，具有成本低、效率高、采集信息豐富和解釋方便的優(yōu)點(diǎn)[1]。作為淺層地球物理勘查的常用方法之一，高密度電法被廣泛應(yīng)用到環(huán)境地質(zhì)勘察[2]、工程地質(zhì)勘察[3]、水利水電工程[4]、城市工程[5]以及考古[6]等行業(yè)。高密度電法的選用，一方面要考慮探測深度，另一方面又要權(quán)衡探測分辨率，一旦這兩個(gè)方面結(jié)合不好，就會造成勘探效果差或者拖慢工程進(jìn)度等問題。對探測深度的影響方面，主要因素有電極距、測線長度、隔離系數(shù)等[7]；而對反演分辨率影響方面，國內(nèi)雷宛等[8]最早對高密度電法四種裝置(α、β、γ及四極測深裝置)的反演分辨能力進(jìn)行探討，認(rèn)為溫納裝置對于電性的垂直變化比水平變化反應(yīng)更靈敏，偶極裝置對垂向電性變化靈敏而水平變化相對不靈敏；而后馬志飛等[9]通過野外實(shí)驗(yàn)印證了上述結(jié)論；李金璽等[10]通過理論研究證明溫納β裝置的分辨率高于溫納α的分辨率；柳建新等[11]通過野外實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，溫納裝置的橫向分辨率較高，偶極裝置的縱向分辨率比溫納裝置好；向陽等[12]通過模擬實(shí)驗(yàn)證明高密度電法的橫向分辨率高于縱向分辨率，偶極裝置的橫向分辨率比溫納裝置的高。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，就溫納、偶極和微分三種裝置的橫向反演分辨率及最大約束深度問題進(jìn)行探討。

1 高密度電法工作原理

高密度電法是以地質(zhì)介質(zhì)的電性差異為基礎(chǔ)，通過觀測人工電場的分布規(guī)律，從而達(dá)到勘探目的[13]。在野外勘探時(shí)，沿測線布置多個(gè)電極，利用多芯電纜將其連接到電極轉(zhuǎn)換器，然后根據(jù)不同的電極排列裝置和不同的電極距，由微機(jī)控制選擇供電電極和測量電極，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的采集。一次性布極不僅可以實(shí)現(xiàn)縱、橫兩個(gè)方向的數(shù)據(jù)采集，同時(shí)還可以反映地下介質(zhì)體在橫向和縱向的電阻率變化情況，具備電剖面法和電測深法兩種方法的綜合探測能力[14]。

地下介質(zhì)視電阻率的計(jì)算公式[15]為式(1)。

(1)

式中：ρs為巖土體視電阻率，Ω·m；ΔV為電位差，V；I為供電電流，A；K為裝置系數(shù)。

1.1 有限元法正演

這里正演運(yùn)用有限元法，有限元法以變分原理和加權(quán)余量法為基礎(chǔ)，將微分方程離散求解。在二維地電條件下，點(diǎn)電源場各節(jié)點(diǎn)電位的計(jì)算可以歸納為對若干給定波數(shù)λ并求解電位的傅氏變換V(x，λ，z)，其滿足的二維偏微分方程的邊界問題為[16]：

(2)

式中：Ik為第K個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)電源；σ為電導(dǎo)率；Γ1、Γ2為邊界條件；n為邊界外法線方向在相應(yīng)的電場條件下的微分方程以及邊界條件，與二維偏微分方程邊值問題等價(jià)的變分問題為：

δF(u)=0

(3)

式中:Ω為模擬區(qū)域；u為異常點(diǎn)位；u0為正常電位；σ為電導(dǎo)率；r為向徑；n為邊界外法線方向；Γ為邊界條件。對方程(2)求解，求出變換電位V(x，λ，z)，然后通過反傅里葉變換計(jì)算電位[17]

(4)

式中：U(x，y，z)為電位函數(shù)。求出各節(jié)點(diǎn)的電位值，便可得到地下不均勻體的分布。

1.2 最小二乘反演

最小二乘法作為地球物理反演中最常用的一種方法，具有很好的穩(wěn)定性和適應(yīng)性。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，Constable等[18]提出了奧克姆反演方法，此方法可以解決反演中經(jīng)常出現(xiàn)的混定問題。加入光滑約束的目標(biāo)函數(shù)為[19]：

ψ=‖Δd-AΔm‖2+‖λCΔm‖2

(5)

式中:Δd為數(shù)據(jù)殘差矢量，其值等于實(shí)測視電阻率的對數(shù)值與正演視電阻率的對數(shù)值之差；Δm為模型參數(shù)矢量改正值；A為偏導(dǎo)數(shù)矩陣；λ為拉格朗日常數(shù)；C為光滑矩陣。

對式(5)Δm求導(dǎo)并令其等于零，可以得到下面的線性方程組:

(ATA+λCTC)Δm=ATΔd

(6)

解方程組(6)得到模型改正量，然后加到預(yù)測模型參數(shù)矢量中，便可得到新的模型參數(shù)矢量m0+Δm。重復(fù)這個(gè)過程直至實(shí)測數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)之間的平均均方差滿足要求，其中平均均方差rms為:

(7)

式中:N為觀測數(shù)據(jù)總量。

2 模擬實(shí)驗(yàn)

高密度電法常用的布極方式有溫納裝置、偶極裝置和微分裝置等，每種跑極方式的優(yōu)缺點(diǎn)不同，同一地質(zhì)模型條件下，各種方式基本上都能反映異常體，但是其分辨率嚴(yán)重依賴于電極距[11]。在實(shí)際生產(chǎn)中，布置測線時(shí)要選擇合適的電極距，大的電極距可以增大探測深度，但是勘探精度隨之降低；而小的電極距，雖然會增大勘探精度，但會導(dǎo)致探測深度減小，工作效率降低。筆者就高密度電法橫向反演分辨率和最大約束深度兩個(gè)方面進(jìn)行探討。利用res2dmod電阻率正向模擬軟件，通過控制變量法，建立模型，然后利用res2dinv電阻率反演模擬軟件，對建立的模型進(jìn)行反演，再將反演結(jié)果和地電模型進(jìn)行對比分析，最后得到相應(yīng)結(jié)論。

2.1 橫向反演分辨率探討

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電極距相對于電性異常體橫向長度過大時(shí)，在反演中異常體無法得到約束。就此現(xiàn)象，通過不斷改變電極距，保持電性異常體規(guī)模不變，探討電性異常體在反演中無法得到約束時(shí)的電極距和異常體邊長的關(guān)系。首先建立電性異常體模型，保持其埋深和大小不變，然后改變電極距進(jìn)行正反演計(jì)算，最后記錄異常體在反演中無法得到約束時(shí)的極距。

圖1 4 m極距地電模型與反演斷面圖Fig.1 Geoelectric model and invert the sectional view (Electrode distance = 4 m)(a)地電模型；(b)反演斷面圖

圖2 12 m極距地電模型與反演斷面圖Fig.2 Geoelectric model and invert the sectional view (Electrode distance=12 m)(a)地電模型；(b)反演斷面圖

圖3 異常體橫向邊長與電極距的關(guān)系Fig.3 The lateral length of the anomalous body and electrode spacing

圖1是地電模型(a)和反演斷面圖(b)，其基本參數(shù)：溫納裝置，電性異常體剖面面積為4×4(m2)，埋藏深度h=5 m，電阻率為100 Ω·m，圍巖電阻率為10 Ω·m，電極距a=4 m。反演斷面圖(圖1 (b))中可以看到，異常體的視電阻率大于21 Ω·m，圍巖的視電阻率普遍小于12 Ω·m，地電模型與反演斷面圖擬合較好，異常體表現(xiàn)明顯，反演效果較好，說明在此條件下，反演分辨率較高。將電極距增大為12 m，地電參數(shù)和圖1一致。在反演斷面圖(圖2 (b))中可以看出，整體視電阻率在10 Ω·m以上，出現(xiàn)若干假演體，模型(圖2 (a))中的電性異常體在反演中無法得到約束，反演斷面圖與地電模型擬合度低，不能對電性異常體的判斷起到指示作用，說明在此條件下反演分辨率較低。以上過程展現(xiàn)了同一地質(zhì)異常體隨電極距的增大，由反演分辨率良好到很差的過程，記錄本過程中異常體在反演中無法得到約束的電極距和電性異常體的橫向長度。

圖4 1 m埋深地電模型和反演斷面圖Fig.4 Geoelectric model and invert the sectional view(buried depth =1 m)(a)地電模型；(b)反演斷面圖

圖5 3 m埋深地電模型和反演斷面圖Fig.5 Geoelectric model and invert the sectional view(buried depth =3 m)(a)地電模型；(b)反演斷面圖

圖6 5 m埋深地電模型和反演斷面圖Fig.6 Geoelectric model and invert the sectional view(buried depth =5 m)(a)地電模型；(b)反演斷面圖

建立6種正四邊形的地電模型，其基本參數(shù)如下：電極數(shù)為40，電性異常體規(guī)模分別為1×1(m2)、2×2(m2)、3×3(m2)、4×4(m2)、6×6(m2)、8×8(m2)，電阻率為100 Ω·m，埋深h=5 m，圍巖電阻率為10 Ω·m，均方根誤差控制在5%以內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M。我們不僅除了對溫納裝置進(jìn)行探討外，還對偶極和微分裝置進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探討，圖3是溫納裝置、偶極裝置和微分裝置地電模型在反演中無法得到約束時(shí)，電極距和異常體橫向邊長的關(guān)系曲線。從圖3可以看出，異常體邊長一定條件下，溫納裝置在電極距相比微分和偶極裝置較大情況下，也能準(zhǔn)確反演得到異常體的規(guī)模和位置。說明在以上模擬條件下，三種裝置的橫向分辨率：溫納裝置大于微分裝置和偶極裝置；電極距小于12.75 m時(shí)，微分裝置大于偶極裝置，電極距大于12.75 m時(shí)，偶極裝置大于微分裝置。

2.2 最大約束深度探討

對高密度電法最大約束深度探討，通過不斷改變電極距，探討溫納、偶極和微分3種裝置下電性異常體的最大約束深度與電極距的關(guān)系。

建立地電模型，其基本參數(shù)如下：電極距a=2 m，電極數(shù)為40，電性異常體剖面面積為2×2(m2)，電阻率為100 Ω·m，圍巖電阻率為10 Ω·m，加入5%的噪聲系數(shù)，迭代5次，均方根誤差控制在5%以內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M。

從圖4(a)可以看出，反演斷面的視電阻率整體小于12 Ω·m，異常體的視電阻率大于21 Ω·m，反演斷面圖中電性異常體位置、埋深和大小與地電模型(圖4 (a))相匹配，約束效果良好。表明在溫納裝置下，電極距a=2 m，異常體規(guī)模為2×2(m2)，埋深h=1 m時(shí)，在反演中約束效果良好。將異常體埋藏深度由1 m增大至3 m，反演得到圖5(b)，從圖5(b)可以看出，反演斷面整體上呈現(xiàn)分層現(xiàn)象，上層視電阻率大于13 Ω·m，下層視電阻率小于10 Ω·m，電性異常體基本可以得到約束，但與圖1相比約束效果減弱。表明隨著埋藏深度的增加，反演斷面圖中電性異常體規(guī)模向外擴(kuò)大，并且出現(xiàn)了較多假演體，電性異常體在反演中的約束效果開始降低，對電性異常體的判斷造成干擾。將異常體埋深由1 m增大至5 m，反演得到圖6(b)，從圖6(b)可以看出，整個(gè)反演斷面的視電阻率普遍在11 Ω·m以上，出現(xiàn)大量假演體，異常體在反演中得不到約束。表明埋藏深度增加至5 m時(shí)，在此極距下異常體不能再被約束。以上過程展示了電極距a=2 m，異常體剖面面積為2×2(m2)時(shí)，不斷增大異常體埋藏深度，異常體在反演中從約束效果良好到完全無法得到約束的過程，記錄探討過程中的極距和最大約束深度。

圖7 電極距與最大約束深度關(guān)系Fig.7 Electrode distance and maximum restraint depth

建立地電模型，其參數(shù)如下，每排列有40個(gè)電極，電性異常體剖面面積為4×4(m2)，電阻率為100 Ω·m，圍巖電阻率為10 Ω·m，加入5%的噪音系數(shù)，反演均方根誤差均控制在5%以內(nèi)，電極距分別為a=2 m、3 m、4 m、6 m、8 m做模擬實(shí)驗(yàn)，反演得到極距與相應(yīng)的最大約束深度，記錄該值并匯總其結(jié)果于圖7。

圖7中可以看出，對于溫納裝置，當(dāng)電極距小于3 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之增大；當(dāng)電極距大于3 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之減小。偶極裝置下，當(dāng)電極距小于6 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之增大；當(dāng)電極距大于6 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之減小。微分裝置下，當(dāng)電極距小于3 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之增大；當(dāng)電極距大于3 m時(shí)，隨著電極距的增大最大約束深度隨之減小。另外，相同電極距條件下，偶極裝置的約束深度最大，微分裝置的約束深度次之，溫納裝置的約束深度最小。由此說明電極距在2 m～8 m模擬條件下，溫納、偶極、微分三種裝置，最大約束深度隨電極距的增大先增大后減小；偶極裝置的最大約束深度>微分裝置的最大約束深度>溫納裝置的最大約束深度。

3 結(jié)論

1)電極距小于20 m模擬條件下，對于埋藏深度為5 m且地質(zhì)規(guī)模不同的電性異常高阻體(異常體電阻率=100 Ω·m，圍巖電阻率=10 Ω·m)，其橫向分辨率：溫納裝置大于微分和偶極裝置；電極距小于12.75 m時(shí)，微分裝置大于偶極裝置，電極距大于12.75 m時(shí)，偶極裝置大于微分裝置；依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建議實(shí)際生產(chǎn)中，選擇合適的電極排列方式。

2)溫納、偶極和微分三種裝置，在電極距在2 m～8 m模擬條件下，對于剖面面積為4×4(m2)的電性異常高阻體(異常體電阻率=100 Ω·m，圍巖電阻率=10 Ω·m)，最大約束深度隨電極距的增大先增大后減小；電極距相同時(shí)，偶極裝置的最大約束深度>微分裝置的最大約束深度>溫納裝置的最大約束深度。