“三思維”下小學數學模型思想教學探究

艾中玲

（桃源縣架橋鎮中心小學，湖南 常德 415700）

“三維”是指聯想思維、求同思維和求異思維。聯想思維一般是由于某人或者某事而引起的相關思考。求同思維（也叫集中思維）,是一種有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式。求異思維（也叫發散思維）,是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式[1]。

我們發現，在課堂上許多學生并未真正學懂數學的原因在于學生不懂得構建數學模型來解決實際數學問題[2]。所謂數學模型是指現實世界的研究對象,運用數學工具,通過數學語言表述出來的數學結構。數學中的各種基本概念,都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的。各種數學公式、定理、計算方法、理論體系等,都是具體的數學模型。通過對問題分析轉化、數學抽象、模型構建、求解檢驗使問題獲得解決的方法稱為數學建模法，而只要建模正確，運用模型解答問題的過程縝密細致，一般都可使問題迎刃而解。

現在，根據元認知理論對這一思維過程進行認識，并通過探討學生的思維活動,總結出數學學習“六步思維推進法”：

實際問題→分析抽象→選定模型→建立模型→數學問題及數學解→實際解及所用技術→檢驗。

在以上“六步”的思維推進中，雖然每步不是嚴格可劃分的，但每一步或每兩步之間都隱藏著、交織著復雜的思維活動，而且所需的思維方式又不盡相同，所以，我們課題組對這樣的高級思維活動進行了仔細的觀察、思考和研究，初步歸納如下：

在“分析抽象→選定模型→建立模型”過程中，聯想思維是先導，也占主導地位。

當遇到具體問題時，對問題進行分析、抽象，將其數學化，聯系所學的知識、聯想類似的其他問題、聯想已用過的模型及其名稱、聯想到的模型與此問題有無相關性等等，通過豐富的聯想，就可以把記憶中儲存的相關信息聯系起來，涌現出可能的多種模型，最終得出是否建模及建立什么模型的結論。在這個思維過程中可能要完成多次聯想，而由于問題的多樣化，聯想的方法也不同，主要有接近聯想、相似聯想、對比聯想等。舉例來說：

（圖1）

（圖2）

在人教版小學五年級上冊第6單元，學習多邊形的面積，我們選用了如下例子考察學生的思考過程，可以運用哪些思維方法。如圖1，正方形A1B1C1D1是以正方形ABCD各邊中點為頂點的正方形，正方形A2B2C2D2是以正方形A1B1C1D1各邊中點為頂點的正方形...，依此下去，這些小正方形中能否有一個正方形的面積是大正方形ABCD的十分之一呢？為什么？

這首先需要由特殊到一般作接近聯想。在解答前，讓學生思考：可能聯想到的知識點有哪些呢？哪些知識點對解決問題很有幫助？這是啟發學生的聯想思維，對具體問題是否可以建模、建立怎樣的模型的思考。當學生回答出：正方形的面積、三角形的面積、分數知識、圖形之間面積的關系、圖形的分割、平移、翻轉后,進一步啟發他們聯想到同一正方形內的4個角的三角形與正方形面積的關系模型：聯想到圖形的分割就可得出此模型，如圖2所示陰影部分。從而得出由外而內正方形面積的關系模型：再推出正方形面積遞減關系規律、建立分數遞減序列模型，即：等。通過這些聯想就基本完成了①、②步，接下來就要對其中的模型進行篩選，以便真正建立起有利于解決問題的模型，即第③步。而這一步的實現則可能是相似聯想和對比聯想的過程，也可能滲透求同和求異思維。

在“建立模型→數學問題及數學解→實際解及所用技術”過程中,先求同，后求異。

在思考“建立什么模型，如何建模？”時，我們需要排除干擾，聯系因果關系，將知識逐漸“聚焦”，方向不斷明朗，這就是前面所述“有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式”，即求同思維。對于確定選用哪個模型及建模方法的思考，常常需要先思考常規建模方法，常規方法不能解決問題時，考慮建立別具一格的模型，也許能快速、美妙、恰當并富有創新性地解決問題，特別是在著手解決“疑難、高難”問題過程中更是這樣，即運用求異思維，引伸出類似或相關的更多、更好、更有效、更妙趣橫生的模型以解決復雜問題。

對于上面的例子，有那么多的模型，選用哪一個呢？或說哪一個對解決問題最有用呢？我們要能排除多個模型的干擾，優選出一兩個，就要分析清楚問題的因果關系，將條件和結果聯系起來，這樣就會排除掉其他，而得到最有用的模型：由外而內正方形面積關系模型：進一步推出外，正方形面積遞減關系規律、分數遞減序列模型：在這一分數序列中，會有出現嗎？沒有！學生一下就豁然開朗了。這就是具體問題的數學化、數學解：原來，原本的問題就是要在分數遞減序列中看是否存在這個分數。

這里，求同思維就解決了此問題，但我們的學生思維活躍，產生許多求異思維的模型，并解決了問題。例如就照圖2那樣，一直用三角形分割下去，每產生一個正方形就分成四個三角形，依次找出了大正方形與小正方形中的三角形個數關系、大小關系，等等。還有更多奇異的想法，都相應解決了問題。這就是“后求異”思維的應用。