基于動態圖的復雜系統建模方法

李慧 歐陽鑫玉

摘? 要： 為解決具有動態拓撲結構的復雜系統的建模問題，提出一種對其進行解釋結構建模和數學建模的新方法。該方法基于動態圖理論，利用可達矩陣對系統進行強連通子集和區域劃分;利用縮減矩陣，對系統的子系統進行級別劃分;再通過縮減逆變換求取系統的骨架矩陣，并利用得到的骨架矩陣，建立系統的結構模型，該模型就是一個分級動態圖。該方法有利于計算機實現，具體算例驗證了該方法的有效性。

關鍵詞： 動態圖; 復雜系統; 解釋結構; 建模方法

中圖分類號：TP11? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2019）08-49-04

Abstract： In order to solve the modeling problem of complex systems with dynamic topological structures， a new method of interpretive structural modeling and mathematical modeling is proposed. The method is based on dynamic graph theory. Firstly， the system is divided into strongly connected subsets and regions by using reachability matrix; secondly， the subsystems of the system are classified by using reduction matrix; thirdly， the skeleton matrix of the system is obtained by reducing inverse transformation， and then the structure model of the system is established by using the skeleton matrix obtained. The model is actually a hierarchical dynamic graph. The method is beneficial to computer implementation， and the effectiveness of the method is verified by an example.

Key words： dynamic graphs; complex systems; interpretive structural; modeling method

0 引言

復雜系統與復雜性科學被譽為21世紀的科學，是吸引跨學科廣泛注意的新型交叉科學，已經成為廣大研究者自20世紀末以來的研究新熱點[1]。所謂復雜系統，就是由大量子系統以某種關系耦合在一起而組成的系統，它通常會表現出自組織、涌現等特性。復雜系統作為復雜性的表現載體，涉及的范圍非常廣泛，包括自然、工程、生物、經濟、管理、政治與社會等各個方面，它普遍存在于自然界、社會以及各個不同學科領域中，可以說幾乎無處不在，如復雜制造系統、復雜工程系統、生物系統、社會系統、天體系統、經濟系統、電力系統、群體系統、通信系統等，它們都是復雜性科學研究的具體對象。一般來說，復雜系統的子系統之間耦合關系通常是動態的，這意味著系統的拓撲結構不是固定的、成熟的，也不是一成不變的;相反，由于外部作用的驅使內部元素的作用或遵循明確的預先確定的演化規則，允許它隨時間演化和調節[2]。那么，如何根據對具有動態拓撲結構的復雜系統的描述和分析，為其建立結構模型和數學模型，是值得深入研究的課題。

本文從圖論出發，討論動態圖的連通性、可達性、區域性等特性，并利用其對復雜系統進行了描述和結構建模，然后根據動態圖與動態鄰接矩陣的同構性，給出了復雜系統的數學模型。

1 動態圖理論

圖論是復雜網絡精確數學處理的自然框架，且形式上復雜網絡可以用圖表示。對于復雜系統，如果將子系統看作復雜網絡的頂點，子系統之間的耦合關系看作復雜網絡的邊，那么，復雜系統就可以用一個復雜網絡來描述，也即可以用一個圖來描述。但傳統的圖論主要研究的是具有固定邊權的靜態圖，對于描述耦合關系隨時間變化的復雜系統稍顯不足，因而需要對傳統的圖論進行擴展，將靜態圖推廣到動態圖。

首先定義一個具有頂點數為[N]的圖空間[Ω]。考慮有向圖[D=（V，E）]，其中[V]是[N]個頂點的非空集，[E]是有向邊（弧）的集.對每條弧[（vi，vj）][∈E]，分配一個權值[eij]，若[（vi，vj）][?E]，則[eij=0]。根據圖與矩陣同構概念，圖[D]可以利用鄰接矩陣[E=（eij）][∈RN×N]表示。考慮映射[Φ（t，D）]對于[?D∈Ω]、[t∈R]，確定一個圖[Φ∈Ω]。由此，定義[3]：

定義1 動態圖[D]是圖空間[Ω]到其自身的一個單參數映射[Φ（t，D）：R×Ω→Ω]，且同時滿足以下三個條件：

4 結束語

本文基于動態圖理論，針對具有結構約束的動態互聯復雜系統，提出了一種有效的結構模型和數學模型建立方法，該方法建立的模型直觀且易于用計算機實現，有利于復雜系統的穩定性分析、脆性研究、協調控制研究和分散控制研究等后續研究。

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