改進的主成分分析法在皮棉質量評價中的應用

舒服華

武漢理工大學 繼續教育學院（中國）

優良的原材料是獲得高品質紡織品的基礎。皮棉是一種傳統的紡織品原料，在所有紡織品原料中其使用量占比過半。不同品種棉花產出的皮棉質量不盡相同。不同產地的同一品種，由于生長環境和管理水平不同，皮棉質量也有差異［1－2］。掌握皮棉質量鑒別技術，是采購優質原料的前提。中國已針對皮棉的質量檢驗評價制定了相關等級標準，但等級數量有限。僅按照標準等級衡量皮棉質量遠遠不夠，需進一步細化皮棉的質量指標，并采用綜合評價法判定指標的合理性。目前的綜合評價方法很多，各自存在優點與不足。其中，主成分分析法是將相互之間具有關聯性的數量較多的指標轉化為少數幾個線性無關的綜合指標。這些綜合指標稱為主成分，代表原始指標的大部分信息，且各個主成分所含信息互不重復。這樣，可將復雜因素歸納為幾個主要成分，降低數據處理的復雜性，使研究問題簡化，同時，研究結果又不失真實性。主成分分析方法在很多領域得到了廣泛應用［3－8］。本文嘗試采用改進的主成分分析法評價皮棉質量，以降低評價難度，提高評價效率。

1 主成分分析法簡介

1.1 主成分分析基本原理

在現實生活中，往往會遇到許多變量，這些變量的內涵或數據存在交叉重疊，給研究帶來不便。主成分分析法可較好地解決這一問題。主成分分析法的基本原理是，通過降維方法處理，將多個數據間具有一定相關性的指標組合成一組新的不相關的指標。新指標為原指標的線性組合，包含了原指標中的絕大部分信息，可用來代替原指標，從而化繁為簡，使多個相關指標轉化為少數幾個無關指標。

主成分分析法中主成分的信息量，主要取決于評價矩陣的相關系數矩陣的特征值大小，特征值越大，主成分信息量越多。特征值最大的主成分稱為第一主成分，其次為第二主成分，以此類推。特征值個數等于原指標的個數，對應的主成分也就與原指標數目相同。選取主成分時，沒有必要選取所有主成分，否則，新指標的數量就與原指標一樣多，主成分分析也就失去了意義。事實上，越往后的主成分信息量越少，有些甚至無限接近0。因此，一般只需選取累積貢獻率在85%～90%的少數幾個主成分即可。

假設有n個評價對象，m個評價指標，構成評價矩陣X ＝ （xij）n×m，即

其中，xij為第i個評價對象第j個評價指標的評價值（j＝1，2，…，n）。

這m個線性相關的評價指標可以通過正交變換，重新組合成m個線性無關的新指標，即

其中，Fj為第j個主成分，aij為第j個主成分的第i個指標的載荷系數。

主成分分析模型可表示為

A稱為主成分系數矩陣。

大部分新指標所包含的信息量減少，在選取主成分時可以舍去。

1.2 主成分分析評價法步驟

1.2.1 數據標準化

數據標準化分為兩個步驟，第一步是消除指標量綱及方向性影響。消除方向性影響意即將所有類型的指標都轉化為效益型指標（值越大越好），主要是針對成本型指標（值越小越好），需將其轉化為效益型指標。

當xij為效益型數據時，數據規范化方法為

當xij為成本型數據時，數據規范化方法為

式中，xij為第i個樣本第j個指標的原始數據，yij為第i個樣本第j個指標的規范化數據。

第二步為調整數據的分布，使每個指標數據的均值為0、標準差為1，即

式中，rij為標準化數據，μj為第j個指標的均值，σj為第j個指標的標準差。

1.2.2 構建相關系數矩陣

相關系數矩陣由指標之間的相關系數構成，其每1行每1列代表1個相應的指標。計算各個指標的相關系數，按照指標的排列順序，以及各指標間的相關系數構造相關系數矩陣。相關系數矩陣為一對稱矩陣。

1.2.3 計算特征值和特征向量

計算相關系數矩陣的特征值和對應的特征向量，將特征值從大到小排序。特征值即相應主成分的系數，其大小反映了主成分的影響力。

1.2.4 計算貢獻率和累積貢獻率

式中，ci為主成分Fi的貢獻率，pi為F1到Fi的累積貢獻率，λi為Fi的特征值。

1.2.5 提取主成分

提取累積貢獻率大于90%的特征值λ1、λ2、…、λt，對應的主成分為F1、F2、…、Ft。

1.2.6 計算主成分綜合得分

1.2.7 得出評價結果

根據評價對象的綜合得分判斷優劣，綜合得分越高，評價對象越優。

1.3 主成分分析改進

傳統的主成分分析法忽視了各評價指標對評價對象的影響程度，將各評價指標對評價結果的重要性均等看待，影響了評價結果的客觀性。為了體現不同的評價指標對評價結果的影響程度不同，本文采用對指標賦予權重的方法加以改進，以提高評價結果的真實性。因皮棉評價指標較多，故指標的權重采用較為簡單的環比評分法確定。環比評分法容易操作，評分的可塑性、可控性較大，能夠較準確地表達不同指標對評價結果的影響。具體方法：根據各評價指標對評價結果的影響大小，對其重要性進行評分，評分可以為百分制、十分制，也可以為小數、分數。計算各個評價指標得分的比重，即各自的權重。設評價指標Xi的重要性評分為Bi，則Xi的權重為

2 基于主成分的皮棉質量評價

以8個不同供應商銷售的鋸齒棉為研究對象，其評價指標集為s＝（s1，s2，…，s8）。參照國家標準，皮棉質量及等級劃分的主要指標如下：成熟系數（X1）、斷裂比強度（X2）、黃根率（X3）、毛頭率（X4）、纖維長度（X5）、馬克隆值（X6）、異纖維含量（X7）、回潮率（X8）、含雜率（X9）、短纖維率（X10），本文選取以上10項指標作為皮棉質量評價的指標。評價指標集為X＝（X1，X2，…，X10），按照相關標準測試這8種試樣的10項指標，結果如表1所示。

表1 鋸齒棉指標測試結果

2.1 數據規范化

首先，消除指標的量綱和方向性。10項評價指標中，成熟系數（X1）、斷裂比強度（X2）、纖維長度（X5）、馬克隆值（X6）值越大越好，為效益型指標，按照式（3）規范化處理。黃根率（X3）、毛頭率（X4）、異纖維含量（X7）、含雜率（X9）、短纖維率（X10）值越小越好，為成本型指標，按式（4）規范化處理。由表1可以看出，8種試樣的回潮率均在8.0～10.5范圍內，而該范圍的回潮率越小越好，故對于本研究體系，回潮率（X8）也為成本型指標，同樣按式（4）規范化處理。10項指標規范化處理結果如表2所示。

2.2 確定指標的權重

根據有關標準和實際經驗，取這10項指標的重要性評分分別為B1＝10.00，B2＝9.75，B3＝9.50，B4＝9.25，B5＝9.00，B6＝8.75，B7＝8.50，B8＝8.25，B9＝8.00，B10＝7.75。根據式（9）計算得10項評價 指 標 的 權 重 分 別 為 w1＝ 0.112 7，w2＝0.109 8，w3＝0.107 0，w4＝0.104 2，w5＝0.101 4，w6＝0.098 6，w7＝0.095 8，w8＝0.093 0，w9＝0.090 1，w10＝0.087 3。

表2 規范化數據1

2.3 數據加權規范化

加權規范化數據結果如表3所示。

以加權規范化數據為基礎，按式（5）將其轉換為均值為0、標準差為1的分布，結果如表4所示。

2.4 構建相關系數矩陣

計算指標的相關系數矩陣，結果如表5所示。由表5可知，許多指標的相關系數大于0.5。其中，X1和X2的相關系數最大，為0.929 909。即這些指標存在很強的相關性，適合于運用主成分分析法。

表3 加權規范化數據

表4 規范化數據2

表5 相關系數矩陣（表格形式）

2.5 計算相關系數矩陣的特征值與主成分的貢獻率、累積貢獻率

首先計算相關系數矩陣的特征值，然后按式（6）和式（7）計算主成分的貢獻率、累積貢獻率，結果如表6所示。數據表明，主成分數與指標數相等，前幾個的貢獻率較大，越往后，貢獻率越小。

表6 主成分特征值及貢獻率

2.6 提取主成分

按照“選擇的新指標個數累積能代表原指標信息的90%以上為止”原則，根據表6數據，提取主成分1、2和3，分別記為F1、F2和F3，它們的載荷系數如表7所示。

提取的主成分可表示如下。

F1＝0.352 021X1＋0.374 285X2＋0.358 097X3＋0.299 699 X4＋ 0.297 613 X5＋ 0.378 794 X6＋0.369 337 X7＋ 0.108 192 X8＋ 0.129 269 X9＋0.347 929 X10

F2＝－0.154 050X1－0.090 380X2－0.052 480X3＋0.231 345 X4－ 0.495 850 X5－ 0.001 530 X6－0.024 400X7＋ 0.412 114X8＋ 0.680 958X9＋0.178 383 X10

F3＝－0.047 190X1－0.071 530X2－0.219 420X3＋0.304 099 X4－ 0.075 160 X5＋ 0.071 378 X6＋0.004 301 X7－ 0.847 760 X8＋ 0.255 579 X9＋0.239263 X10

表7 主成分載荷系數

主成分F1、F2和F3為綜合新變量，它們由原10項指標線性組合而成，且線性無關，互不重復，并包含了原指標90.76% 的信息，可替代原指標X1、X2、…、X10對評價對象進行評價。

2.7 計算評價對象的綜合得分

評價對象的綜合得分（F）為提取的主成分與對應貢獻率積之和，即

F ＝0.686 568F1＋0.126 001F2＋0.095 040F3

由此計算得各評價對象的綜合得分如表8所示。數據表明，s5綜合質量最優，s7綜合質量最差。評價結果直觀圖如圖1所示。

表8 評價對象的綜合得分

圖1 評價結果直觀圖

3 結語

棉花的品質、生長環境、管理水平、收獲方式及加工精度不同，導致皮棉質量存在很大差異。科學評價皮棉的質量，一方面對指導棉紡織企業采購優良的原料，生產高品質產品，滿足消費者對美好生活的追求具有重要意義；另一方面可促進棉農引種優良品種，提高種植技術，促進皮棉質量的提高。衡量皮棉質量的指標較多，涉及面廣，并且有些指標存在一定的關聯，需采用有效方法，才能得到客觀公正的結果。主成分分析法的實質是通過正交變換，將一組線性相關的變量轉換為另一組線性不相關的變量，刪除多余重復內容。在構建新變量時，選擇性地采用幾個主要新指標，保持絕大部分原有信息，達到在求解結果不失偏差的前提下，簡化問題，提高求解效率的目的。本文運用改進的主成分分析法評價皮棉質量，較好地解決了評價指標相關性問題，可為紡織企業高效評價皮棉質量提供借鑒。