具有媒體飽和發生率的SIS時滯模型研究

趙省麗 劉茂省

摘要：為了研究媒體報道對傳染病動力學性態的影響，通過建立疾病發生率受媒體報道影響的SIS數學模型，確定模型的基本再生數，證明平衡點的存在性以及地方病平衡點的唯一性，并證明無病平衡點的局部漸近穩定性和全局穩定性，以及地方病平衡點的局部漸近穩定性。引入時滯因子對模型進行深入研究，通過數值模擬驗證了理論結果的正確性。研究結果表明：當參數滿足一定條件時，在地方病平衡點會產生Hopf分支。具有媒體飽和發生率的SIS時滯模型的研究結果，闡釋了媒體報道對疾病傳播的影響，豐富了飽和發生率的傳染病模型結果，為有效實施疾病防控提供了理論依據。

關鍵詞：穩定性理論;飽和發生率;SIS模型;媒體報道;時滯

中圖分類號：O175.13文獻標志碼：A

doi：10.7535/hbgykj.2019yx03003

文章編號：1008-1534（2019）03-0164-06

通常情況下，某種傳染病的爆發必然會引起人們行為方式的改變，如減少外出、接種疫苗、注意衛生等，這些行為方式的改變又必然會對疾病的傳播方式和控制效果有很大的影響。許多學者研究分析了媒體對疾病實際情況報道的滯后性，建立了一些含有時滯的傳染病模型[6-8，16]。孔建云等[16]考慮到媒體對疾病的報道不會立即引起疾病感染率的改變，引入時滯進行深入研究分析。為了從更加實際的角度來研究傳染病模型的動力學性態，筆者考慮到疾病感染人數的數據統計需要時間，也就是不會立即對媒體執行強度產生影響，因此引入時滯對模型進行討論，研究在這種情形下是否會產生Hopf分支以及相應的臨界值，通過數值模擬觀察模型的周期性震蕩情況，進而可以得到疾病爆發周期的頻繁程度。

1模型的建立和平衡點的分析

1.1模型的建立

根據疾病傳播過程和建模思想，模型流程如圖1所示。

4結論

通過研究媒體報道影響疾病發生率的數學模型，首先，分析得到了模型的無病平衡點和地方病平衡點的存在性以及唯一性;接著，分析得出無病平衡點是全局漸近穩定的，地方病平衡點是局部漸近穩定的;最后，引入時滯因子作為分支參數對模型進行研究。研究表明：當R0>1，Q2<Q3時，存在分支參數臨界值τ0;當τ<τ0時，系統的地方病平衡點E*是局部漸近穩定的;當τ>τ0時，地方病平衡點E*是不穩定的;當τ=τ0時，地方病平衡點E*產生Hopf分支。通過數值模擬驗證了理論分析結果的正確性。研究結果表明，傳染病的流行與否和時滯因子的變化有直接影響，現實中考慮媒體報道對疾病傳染控制的影響時，可以根據實際狀況考慮合適的時滯，使疾病控制決策更加有效。本研究只考慮了一個時滯對模型的影響，今后可以根據實際情況引入不同的時滯，討論分析多時滯因子如何改變模型的動力學性態。另外本文只考慮了分支的存在性，還可以研究Hopf分支的具體方向和持久性等。

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