淺談數學與創新思維之發散思維

潘麗欽

摘 要：全國科技大會上指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。…一個沒有創新能力的民族難于屹立于世界民族之林。”教育部的一個報告指出：“實施素質教育重點是改變教育觀念，……尤其是要以培養學生的創新意識和創造精神為主。” 因此數學教學不但應該傳授數學知識，還應該培養學生的創新思維。發散思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發散思維稱為求異思維。它是一種重要的創造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發散式地思考問題。

數學中“一題多解”最著名的例子，是幾何學中關于“勾股定理”的證法。 勾股定理（被譽為“千古第一定理”）：一個直角三角形的斜邊c的平方等于另外兩邊（a，b）的平方和。即a2+b2=c2這個定理人們用不同的方法，給出了370多個證明。

這個定理的重要性在于：

1. 它是聯系“數”與“形”的第一個重要定理；

2. 它導致了不可公約量的發現（第一次數學危機）；

3. 它開始把數學由計算與測量的技術擴大到證明與推理的科學；

4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引導到各式各樣的不定方程，包括費馬大定理。

數學王子高斯非常重視培養自己的發散思維，并且善于運用發散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。 本文從高中數學中出現的幾個例子談談發散思維的重要性。

一、等差數列前n項和的最值問題.

例：在等差數列{an}中，a1=25，S17=S9則數列的前多少項之和最大？

方法一：由a1=25，S17=S9得

17×25+（17×16）d/2=9×25+（9×8）d/2解得d=-2

從而Sn=25n+n（n-1）（-2）/2=-（n-13）2+169，故前13項之和最大，最大值是169.

方法二：∵Sn=dn2/2+（a1-d/2）n （d<0）

∴Sn的圖像是開口向下的拋物線上一群孤立的點。∵S17=S9最高點的橫坐標為（9+17）/2，即S13最大，由方法一可得d=-2可求得最大值是169.

方法三：∵S17=S9∴a10+a11+…+a17=0，

∵a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0，∵a1=25>0

∴a13>0，a14<0∴S13最大，由方法一可得d=-2，可求得最大值為169.

方法四：同方法一可得d=-2由 可得25/2≤n≤27/2.

∴當n=13時，Sn有最大值為169.

二、求軌跡有關問題.

例 ：設圓C：（x-1）2+y2=1，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程.

方法一：（直接法）設OQ為過O的一條弦，P（x，y）為其中點.則CP⊥OP，OC的中點為M（1/2，0），則|MP|=|OC|/2=1/2得方程為（x-1/2）2+y2=1/4 .考慮軌跡的范圍知0

方法二：（定義法）∵∠OPC=90°∴動點P在以M（1/2，0）為圓心OC的直徑的圓上，|OC|=1，再利用圓的定義得方程為（x-1/2）2+y2=1/4（0

方法二：由已知得拋物線的焦點為F（1，0），所以直線MN的方程為y=x-1.

本文通過上面幾道例子可知創造性思維之發散性思維，這種思維方式，遇到問題時，能從多角度、多側面、多層次、多結構去思考，去尋找答案。既不受現有知識的限制，也不受傳統方法的束縛，思維路線是開放性、擴散性的。它解決問題的方法不是單一的，而是在多種方案、多種途徑中去探索，去選擇。創造性思維具有廣闊性，深刻性、獨特性、批判性、敏捷性和靈活性等特點。

創造性思維具有新穎性，它貴在創新，或者在思路的選擇上、或者在思考的技巧上、或者在思維的結論上，具有著前無古人的獨到之處，在前人、常人的基礎上有新的見解、新的發現、新的突破，從而具有一定范圍內的首創性、開拓性。

創造性思維具有極大的靈活性。它無現成的思維方法、程序可循，人可以自由地海闊天空地發揮想象力。

參考文獻：

[1]王茹. 試論高中數學課堂教學中數學創新思維能力的培養[J]. 數學教學研究， 2008， 27（9）：64-67.

[2] 丁紅梅. 新課程背景下高中數學課堂教學中學生創新思維能力的培養策略[J]. 中國校外教育， 2015（22）：97-97.