基于滾珠絲杠傳動(dòng)的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)建模與分析

陳哲鑰，張建業(yè)，呂張成，劉浩

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387)

0 前言

隨著制造業(yè)的高速發(fā)展，對(duì)零部件的加工精度要求也愈來(lái)愈高，數(shù)控機(jī)床作為加工零部件和推進(jìn)制造業(yè)發(fā)展升級(jí)的載體，在制造業(yè)升級(jí)中占有重要地位。數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)是整個(gè)數(shù)控機(jī)床中由機(jī)械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)組合的具有精確和快速執(zhí)行數(shù)控指令到達(dá)指定位置的集成系統(tǒng)，擔(dān)當(dāng)著數(shù)控機(jī)床的核心部件。而滾珠絲杠傳動(dòng)作為數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)最常見(jiàn)的傳遞機(jī)構(gòu)，通過(guò)聯(lián)軸器與交流伺服電機(jī)相連接，數(shù)控指令作用于電機(jī)編碼器使得電機(jī)帶動(dòng)支撐在角接觸軸承組上的滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，再通過(guò)絲杠與螺母間的傳動(dòng)比i使得工作臺(tái)做直線進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[1]指出高速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)特性與高速機(jī)床控制系統(tǒng)的帶寬有一定影響。商用數(shù)控控制器，如FANUC和西門子都要求機(jī)器設(shè)計(jì)者使機(jī)械系統(tǒng)的一階固有頻率比伺服響應(yīng)帶寬高一級(jí)，以確保驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)安全穩(wěn)定的運(yùn)行[2]。文獻(xiàn)[3-4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)得知，對(duì)于大多數(shù)技術(shù)應(yīng)用，軸向模式的特征頻率明顯小于旋轉(zhuǎn)模式的特征頻率。因此，軸向模式通常被稱為滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的一階固有頻率。由此可知，在對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析時(shí)，需要建立精確的動(dòng)力學(xué)模型，定量分析其零部件參數(shù)及工作狀態(tài)對(duì)一階固有頻率的影響，并通過(guò)仿真預(yù)測(cè)其動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[5]通過(guò)集中質(zhì)量法建立了進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，且通過(guò)共振頻率的正弦掃描實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證了此模型的正確性；文獻(xiàn)[6-8]使用有限元法(FEM)和混合建模法建動(dòng)力學(xué)模型，盡可能詳細(xì)地描述了進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。然而，上述建模未將零部件剛度的改變以及工作狀態(tài)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率的影響考慮進(jìn)去。在伺服控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面，KIM、CHUNG[9]提出一種離散控制器的綜合伺服機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[10]提出迭代學(xué)習(xí)輪廓控制器，但在伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中忽略了對(duì)外部干擾的抑制以及對(duì)現(xiàn)有摩擦的補(bǔ)償。

針對(duì)這些問(wèn)題，本文作者通過(guò)Hertz接觸理論和吉村允孝法，結(jié)合有效機(jī)械參數(shù)計(jì)算部件結(jié)合部剛度，并代入拉格朗日方程建立的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，將動(dòng)力學(xué)模型求解結(jié)果與ANSYS有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并定量分析部件參數(shù)及工作狀態(tài)對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)振動(dòng)一階固有頻率的影響。考慮到機(jī)械系統(tǒng)與控制系統(tǒng)之間的耦合作用，為使進(jìn)給系統(tǒng)能快速精準(zhǔn)到達(dá)數(shù)控指令預(yù)期的指定位置，基于MATLAB軟件中的Simulink模塊建立含有摩擦影響的伺服系統(tǒng)控制模型，對(duì)于進(jìn)給系統(tǒng)位置和速度跟蹤響應(yīng)出現(xiàn)的不利情況，采用前饋補(bǔ)償進(jìn)行有效的改善。

1 剛度計(jì)算

1.1 固定結(jié)合部

吉村允孝通過(guò)對(duì)大量機(jī)床結(jié)合部進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究得出：平均接觸壓力相同的兩固定接觸的物體，其結(jié)合部單位面積內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性數(shù)據(jù)是相同的[11]。當(dāng)螺栓連接和過(guò)盈配合結(jié)合部壓力分布均勻時(shí)，結(jié)合部等效剛度的基本積分公式為

K=?kidxdy

(1)

式中：ki是法向單位面積接觸剛度。

1.2 滾動(dòng)結(jié)合部

Hertz接觸理論被廣泛應(yīng)用于研究相互接觸的兩彈性體間接觸變形和接觸應(yīng)力。假設(shè)兩材料均勻和各向同性且滿足胡克定律的物體，在外力F的作用下相互接觸，并且兩物體接觸表面光滑、接觸面尺寸與物體的曲率半徑比值趨近于無(wú)窮小量，則兩物體在接觸過(guò)程中的彈性變形δ可表示為

(2)

式中：Kh和a是Hertz系數(shù)；u1、u2為兩接觸體的泊松比；E1和E2是兩接觸體的彈性模量；∑ρ為接觸點(diǎn)的綜合曲率；P為法向接觸力。

以滾珠絲杠為例計(jì)算結(jié)合部的剛度，在軸向力F的作用下滾珠絲杠螺母副結(jié)合部受力如圖1所示。其中滾珠與滾道之間的法向壓力為P，α為滾珠與滾道接觸點(diǎn)的壓力角，φ為滾珠絲杠的螺旋升角，Z為滾珠數(shù)目。受力分析可得：

圖1 滾珠絲杠螺母副結(jié)合部受力分析

F=PZsinαcosφ

(3)

由Hertz接觸理論得到的彈性變形：

(4)

(5)

(6)

式中：db為滾珠直徑；d為絲杠公稱直徑；f1、f2為密合度。

由滾珠絲杠螺母副的幾何關(guān)系可知絲杠螺母相對(duì)絲杠的軸向位移為

δ=(δ1+δ2)/sinαcosφ

(7)

則滾珠絲杠結(jié)合部的軸向剛度可以表示為

Kn=F/δ

(8)

角接觸軸承組等其他滾動(dòng)結(jié)合部可根據(jù)式(2)—(8)計(jì)算，因篇幅關(guān)系不再闡述。

2 動(dòng)力學(xué)建模與分析

2.1 動(dòng)力學(xué)建模

在伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過(guò)以滾珠絲杠為傳動(dòng)元件轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中，整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)鏈的剛度可以等效地視為絲杠及其支撐元件為了抵抗驅(qū)動(dòng)力作用下進(jìn)給方向所受力與變形的比值。為了更好地研究進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使建立的動(dòng)力學(xué)模型更加符合實(shí)際狀態(tài)，并且準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，現(xiàn)將床身和軸承座簡(jiǎn)化為剛體。由于絲杠螺母副和軸承副在進(jìn)給過(guò)程中作為關(guān)鍵的動(dòng)力傳遞與轉(zhuǎn)換的構(gòu)件，且絲杠作為細(xì)長(zhǎng)桿，在軸向簡(jiǎn)諧力的作用下產(chǎn)生一定的變形與振動(dòng)，會(huì)在數(shù)控加工時(shí)影響伺服系統(tǒng)的定位精度，從而影響零部件所需的加工精度，因此不能將其簡(jiǎn)化為剛體。作者把螺栓連接的絲杠螺母、螺母座、導(dǎo)軌滑塊、工作臺(tái)視為整體，通過(guò)絲杠螺母中點(diǎn)將材料均勻連續(xù)、各向同性的絲杠劃分為兩段，并將螺母與絲杠兩端的軸承副簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼系統(tǒng)。根據(jù)上述簡(jiǎn)化條件，數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧外力作用下的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化

圖中：kbl、cbl分別為左端軸承副(包括聯(lián)軸器、電機(jī)軸)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)；F(t)為簡(jiǎn)諧力；f為摩擦力；msl、msr分別為左、右段絲杠質(zhì)量；l為絲杠總長(zhǎng)；n為t時(shí)刻左端絲杠長(zhǎng)度；xbl為絲杠左端位移；ksl、csl、ksr、csr分別為與工作臺(tái)位置有關(guān)的左、右段絲杠剛度和阻尼系數(shù)；xn為螺母位移；mt為工作臺(tái)質(zhì)量；xt為工作臺(tái)位移；kn、cn分別為螺母及螺母座結(jié)合部剛度和阻尼系數(shù)；kbr、cbr分別為右端軸承副剛度和阻尼系數(shù)；xbr為絲杠右端位移。

由于螺母使得絲杠左右兩段的運(yùn)動(dòng)受力情況不同，因此在計(jì)算動(dòng)能時(shí)選取微元dm，其位移為

(9)

則左段絲杠的動(dòng)能為

(10)

右段絲杠的動(dòng)能為

(11)

式(10)—(11)中：

msl11=msl22=msr11=msr22=msl/3

msl12=msr12=msl/6，msl=n×ms/l

工作臺(tái)動(dòng)能為

(12)

整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(13)

在對(duì)動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化的過(guò)程中，由于兩端軸承副與螺母簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼系統(tǒng)，絲杠被視為彈性桿件，因此數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的總勢(shì)能可以表達(dá)為

(14)

系統(tǒng)的耗散能計(jì)算可將整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)的阻尼假設(shè)為與速度成正比的黏性阻尼得：

(15)

取L=T-U將上式代入第二類拉格朗日方程

(16)

式中：廣義坐標(biāo)q為

q=[xblxnxtxbr]T

廣義力F為

F=[0 0F(t)-f0]T

將計(jì)算得到的系統(tǒng)動(dòng)能T、勢(shì)能U、耗散能D代入式(16)，得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(17)

將式(17)整理成矩陣形式得：

(18)

式中：M為慣性系數(shù)矩陣；C為阻尼系數(shù)矩陣；K為剛度系數(shù)矩陣。

2.2 一階固有頻率求解

由于進(jìn)給系統(tǒng)的位置精度與閉環(huán)帶寬通常受到一階固有頻率的限制，除特定阻尼機(jī)制結(jié)構(gòu)外，在現(xiàn)實(shí)結(jié)構(gòu)中，由于一般機(jī)構(gòu)的阻尼比ξ非常小，且對(duì)機(jī)構(gòu)的固有頻率影響微乎其微[12]，因此，式(18)可以表示成無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程

(19)

假設(shè)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則有

x=Xsin(ωnt+φ)

(20)

對(duì)式(20)求導(dǎo)

(21)

將式(20)、(21)代入式(19)得齊次線性方程組

(22)

要使得方程組有非零解，需要特征方程等于零，即X的系數(shù)行列式等于零，求得ωn就是進(jìn)給系統(tǒng)的固有頻率。

現(xiàn)擬用HIWIN公司R40-10B1-OFSW行程為1 250 mm絲杠的某機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)剛度計(jì)算和原有參數(shù)，可得動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 進(jìn)給系統(tǒng)剛度及結(jié)構(gòu)參數(shù)

當(dāng)工作臺(tái)位于絲杠中間位置時(shí)，將表1數(shù)值代入動(dòng)力學(xué)方程用MATLAB求解軸向一階固有頻率，與ANSYS軟件中的Workbench模塊有限元分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表2，基于有限元分析一階振動(dòng)模態(tài)見(jiàn)圖3。

表2 進(jìn)給系統(tǒng)一階頻率對(duì)比

圖3 有限元一階振動(dòng)模態(tài)

可以對(duì)比出動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算與有限元分析誤差為7.9%，在一個(gè)比較合理的范圍，說(shuō)明通過(guò)赫茲接觸理論和吉村允孝法，結(jié)合有效機(jī)械參數(shù)計(jì)算部件結(jié)合部剛度，并通過(guò)拉格朗日方程建立數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可以比較精確地預(yù)測(cè)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，同時(shí)造成誤差的主要原因在于模型處理方式不同。

由于進(jìn)給系統(tǒng)剛度以及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)一階固有頻率有一定影響，下面將定量分析這些參數(shù)的變化對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率的影響。

針對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)各結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的耦合關(guān)系，數(shù)控機(jī)床在加工的過(guò)程中，進(jìn)給系統(tǒng)一直在做進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。在工件裝夾與切削的過(guò)程中，工作臺(tái)位置與質(zhì)量時(shí)刻發(fā)生著變化。圖4、圖5采用控制變量法分別分析了工作臺(tái)質(zhì)量和工作臺(tái)位置變化對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率的影響。

圖4 工作臺(tái)質(zhì)量m對(duì)一階固有頻率f1的影響

圖5 工作臺(tái)位置x對(duì)一階固有頻率f1的影響

在對(duì)工作臺(tái)質(zhì)量變化進(jìn)行分析時(shí)，為了分離出各結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)固有頻率的影響，只改變工作臺(tái)質(zhì)量，其他參數(shù)視為常數(shù)。由圖4可知：工作臺(tái)質(zhì)量mt在50～300 kg間變化，進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率從358.3 Hz下降到147.6 Hz，且在原有質(zhì)量(100±10)kg的時(shí)候，一階固有頻率為242.7～268.9 Hz，變化率為10.3%。

保持部件剛度和工作臺(tái)質(zhì)量不變，僅單獨(dú)改變工作臺(tái)位置，從圖5可知：最低頻率出現(xiàn)在工作臺(tái)運(yùn)行到絲杠中間的位置，且當(dāng)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)從近電機(jī)端向遠(yuǎn)電機(jī)端時(shí)，進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率變化規(guī)律呈現(xiàn)出先降低再升高的趨勢(shì)。

保持工作臺(tái)質(zhì)量與位置不變，當(dāng)且僅當(dāng)單獨(dú)改變部件剛度，從圖6可以看出：在部件剛度逐漸增大的過(guò)程中，進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率也在逐漸增大；當(dāng)剛度增大到一定值時(shí)，頻率增大趨于平緩。對(duì)比滾珠絲杠螺母副和軸承副剛度增大固有頻率的變化率，可明確得出滾珠絲杠螺母副剛度變化對(duì)一階固有頻率影響較大。其主要原因是滾珠絲杠相對(duì)于整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是細(xì)長(zhǎng)桿件，是整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)中最薄弱的環(huán)節(jié)，在軸向簡(jiǎn)諧力的作用下易發(fā)生變形和振動(dòng)，因此，滾珠絲杠螺母副剛度變化對(duì)其一階固有頻率影響比較大。

圖6 部件剛度對(duì)一階固有頻率的影響

3 伺服環(huán)境下進(jìn)給系統(tǒng)仿真分析

為準(zhǔn)確得到數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中機(jī)械系統(tǒng)和控制系統(tǒng)耦合作用下，工作臺(tái)的實(shí)際速度與位移對(duì)數(shù)控指令的跟蹤性能，在第2章動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，添加利用矢量變換的方法建立交流永磁同步電機(jī)(PMSM)線性解耦下類似于直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)伺服系統(tǒng)三環(huán)電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)。為探討摩擦力對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)伺服響應(yīng)的影響，在機(jī)電耦合模型中加入與速度相關(guān)的黏性摩擦模型[13]。

PMSM由于具備低轉(zhuǎn)矩脈沖、高效率、高精度、高能量密度的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)加工設(shè)備和電驅(qū)設(shè)備的大范圍調(diào)速和定位系統(tǒng)中。假設(shè)在復(fù)雜電磁耦合下電機(jī)定轉(zhuǎn)子滿足三相定子繞組間隔120°、不計(jì)轉(zhuǎn)子和永磁體的阻尼、不計(jì)渦流和遲滯的損耗，PMSM可通過(guò)矢量變換的方法將定子上a、b、c三相交流轉(zhuǎn)換為定子α-β二相交流再變換到d-q二相直流，其公式原理如下：

(23)

通過(guò)MATLAB軟件中的Simulink工具箱建立PMSM采用id=0矢量控制策略的PID控制+前饋控制的三環(huán)伺服系統(tǒng)機(jī)電耦合仿真模型如圖7所示，其Subsystem中封裝了電流環(huán)、摩擦模型及機(jī)械系統(tǒng)。模型中Kd為速度環(huán)放大系數(shù)、Ku為電壓放大系數(shù)、Kv為速度環(huán)反饋系數(shù)，PID控制器中Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分系數(shù)，伺服控制參數(shù)取值見(jiàn)表3。

表3 伺服控制參數(shù)

圖7 進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)電耦合模型

擬以疊加的正弦信號(hào)作為伺服環(huán)境下數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的輸入指令，以電動(dòng)機(jī)的角速度、絲杠的角位移和工作臺(tái)位置作為反饋信號(hào)，得到進(jìn)給系統(tǒng)在有無(wú)摩擦補(bǔ)償下的仿真結(jié)果。圖8在沒(méi)有摩擦前饋補(bǔ)償?shù)那闆r下，明顯看出：位置跟蹤易出現(xiàn)“平頂”的現(xiàn)象；而速度跟蹤下，特別是速度過(guò)零的附近區(qū)域，出現(xiàn)明顯的“死區(qū)”現(xiàn)象。這2種現(xiàn)象對(duì)精密零部件的加工精度有著重大影響，甚至有著報(bào)廢零部件的可能。圖9在使用PID控制+前饋控制的情況下，對(duì)摩擦影響進(jìn)行一定補(bǔ)償，“平頂”和“死區(qū)”現(xiàn)象得到了明顯改善，從而提高了進(jìn)給系統(tǒng)在作進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)的精準(zhǔn)性，保證了加工精度。

圖8 無(wú)摩擦補(bǔ)償下速度、位移響應(yīng)

圖9 摩擦補(bǔ)償下速度、位移響應(yīng)

4 結(jié)論

(1)基于滾珠絲杠傳動(dòng)的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)，通過(guò)赫茲接觸理論與吉村允效法闡述零部件動(dòng)力學(xué)剛度參數(shù)的計(jì)算，并代入拉格朗日方程，建立了零部件剛度改變以及工作狀態(tài)改變對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)一階固有頻率影響的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

(2)動(dòng)力學(xué)模型一階固有頻率求解與ANSYS分析對(duì)比驗(yàn)證，誤差在7.9%，確保了動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。定量分析頻率的影響因素得出：隨著工作臺(tái)質(zhì)量增大，固有頻率降低；固有頻率隨部件剛度增大而增大；當(dāng)工作臺(tái)位于絲杠中間位置時(shí)固有頻率最低。所建動(dòng)力學(xué)模型為進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。

(3)用MATLAB/Simulink工具箱建立了進(jìn)給系統(tǒng)的機(jī)電耦合模型，通過(guò)PID控制+前饋控制改善了進(jìn)給系統(tǒng)“平頂”和“死區(qū)”現(xiàn)象，為摩擦力影響下滾珠絲杠傳動(dòng)的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制與動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償提供了參考。