牛頓運動定律與拉格朗日方程在力學(xué)問題上的解法比較

王振軍

摘? 要：在求解力學(xué)問題時可以利用牛頓運動定律，也可以利用分析力學(xué)中的拉格朗日方程來求解。這是兩種完全不同的求解方法，卻殊途同歸。用牛頓運動定律求質(zhì)點組的運動問題是要解算大量的微分方程組，如果質(zhì)點組受到約束，則因約束反力都是未知的更增加了 解決問題的復(fù)雜性。而分析力學(xué)中的拉格朗日方程則很好的解決了這一問題。

關(guān)鍵詞：參考文獻(xiàn);牛頓運動方程;拉格朗日方程;等價性;微分方程

我們所研究的力學(xué)問題，基本上是以牛頓運動定律來求解的。但是，用牛頓運動定律來求質(zhì)點系的運動問題時，往往需要解算大量的微分方程組，如果質(zhì)點受到約束，則因約束反力都是未知的，因此增加了問題的復(fù)雜性。隨著工業(yè)革命的發(fā)展，在工程技術(shù)上迫切需要解決這類問題的方法，于是，便誕生了拉格朗日等人開創(chuàng)的一系列處理力學(xué)問題的新方法——分析力學(xué)，其中，包括虛功原理、拉格朗日方程、哈密頓原理等。在這里，淺談拉格朗日方程在求解力學(xué)問題中的應(yīng)用。

拉格朗日方程與牛頓方程之比較：

由此可說明：拉氏方程與牛頓方程“等價”.但等價并非相等，在許多方面，拉氏方程要優(yōu)于牛頓方程.雖然拉氏方程與牛頓方程等價，但用拉氏方程求解問題，思路清晰、步驟規(guī)范.凡能用牛頓方程處理的問題，都可用拉氏方程處理，反過來則不盡然.拉氏方程在許多方面要優(yōu)于牛頓方程.

1.牛頓力學(xué)與拉格朗日力學(xué)的關(guān)系：

質(zhì)點力學(xué)的問題，既可以用牛頓力學(xué)也可以用拉格朗日力學(xué)（還有哈密頓原理）中的任何一種基本原理來表述.經(jīng)典力學(xué)中惟一可以用實驗加以驗證的是牛頓第二定律，也正是這一定律，構(gòu)成了牛頓質(zhì)點力學(xué)的基礎(chǔ)，而拉格朗日力學(xué)卻要求抽象的虛位移、虛功，顯然這種依賴于思維的原理是不可能用實驗加以驗證的。下面就這兩種理論的內(nèi)容、方程及切入點做簡單的討論和類比。

1）一般曲線運動問題和約束問題中兩種理：

牛頓力學(xué)為求解力學(xué)問題提供了有效的方法，然而直接以牛頓運動定律為出發(fā)點來研究質(zhì)點系統(tǒng)的運動，卻存在著一些不足和困難。一方面，它在表述方式上有時顯得十分復(fù)雜;另一方面，質(zhì)點組力學(xué)問題中包含著大量方程的微分方程組，尤其在處理約束問題時，力學(xué)系統(tǒng)的獨立變量的數(shù)目減少了，而引進(jìn)的未知約束力和相應(yīng)的約束關(guān)系反而使方程數(shù)目增多，增加了求解的復(fù)雜性。牛頓力學(xué)的這兩種不足卻能在拉格朗日力學(xué)中都能得到很好的解決，它不僅使在牛頓力學(xué)所解范疇的力學(xué)問題得以簡化，而且擴(kuò)展了牛頓力學(xué)。在運用中拉格朗日力學(xué)通篇沒有用一個受力圖，其表述的優(yōu)勢是不需要顯含約束力，其重點放在系統(tǒng)的動力學(xué)方面，而不是計算作用在系統(tǒng)上各部分的力。

2）兩種理論的類比：① 力學(xué)規(guī)律的比較：牛頓力學(xué)的基本觀念：時間的絕對性與時空分離的觀念，使得它只適用于物體運動速度遠(yuǎn)小于光速的范圍，為了擺脫經(jīng)典概念的束縛，而且成為自然地過渡向非經(jīng)典力學(xué)的橋梁，拉格朗日力學(xué)為這種過渡做出了最好的準(zhǔn)備。拉格朗日方程是以達(dá)朗伯原理為基礎(chǔ)，而達(dá)朗伯原理的出發(fā)點是牛頓運動方程，后面進(jìn)行的所有推導(dǎo)都只是改變表述的形式。

② 理論研究的切入點的比較：拉格朗日力學(xué)與牛頓力學(xué)的著眼點是不一樣的。牛頓力學(xué)方法是以質(zhì)點為對象，把著眼點放在作用于物體上的外界因素（力），在處理質(zhì)點系統(tǒng)問題時，須分別考慮各個質(zhì)點所受的力，然后來推斷整個質(zhì)點系統(tǒng)的運動，而拉格朗日在處理問題時，以整個力學(xué)系統(tǒng)作為對象，用廣義坐標(biāo)來描述整個力學(xué)系統(tǒng)的位形，著眼于體系的能量（如動能和勢能）概念。實際上，在拉格朗日表述中沒有一處引入過力的概念，這主要是因為能量是標(biāo)量，并且一系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是不隨坐標(biāo)變化而變化的;在力學(xué)系統(tǒng)受到理想約束時，可在不考慮約束力的情況下來解決系統(tǒng)的運動問題。

方程形式的比較：拉格朗日動力學(xué)方程取較簡潔的形式。對于有n個質(zhì)點所組成，受到k個約束條件限制的力學(xué)體系，應(yīng)用牛頓定律將需要3n+k個方程聯(lián)立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k個，約束越多，這一優(yōu)點就越明顯。另外，在上述已談到，牛頓運動方程是從物體受力角度導(dǎo)出的，而拉格朗日方程是從能量的角度來寫動力學(xué)方程的，這樣的好處是：一是，力是矢量，能量是標(biāo)量，一般來說處理標(biāo)量比處理矢量要方便。二是，力僅是力學(xué)范圍內(nèi)的一個物理量，而能量則是整個物理學(xué)的一個基本物理量，這就為把力學(xué)規(guī)律應(yīng)用到其他物理學(xué)領(lǐng)域開辟了可能性，使拉格朗日方程成為力學(xué)和物理學(xué)其他分支相聯(lián)系的橋梁。

綜上所述：牛頓力學(xué)在數(shù)學(xué)處理方面著重于幾何和矢量的應(yīng)用，拉格朗日力學(xué)則偏重于解析數(shù)學(xué)，它們處理問題的出發(fā)點不一樣，但所得的結(jié)論是一致的。在學(xué)習(xí)中我們看到在拉格朗日力學(xué)中并沒有在任何意義上建立新的理論，只不過是在力學(xué)中引人虛位移和虛功的概念把牛頓觀點進(jìn)行擴(kuò)展的結(jié)果，這也正是這兩種不同風(fēng)格的力學(xué)理論，在力學(xué)范疇內(nèi)所包含的內(nèi)容完全等價的原因所在。但我們也看到，由于拉格朗日力學(xué)具有普適的表達(dá)方式，使它有可能超越力學(xué)范圍，推廣到其他學(xué)科中應(yīng)用。雖然拉氏方程與牛頓方程等價，但用拉氏方程求解問題，思路清晰、步驟規(guī)范.凡能用牛頓方程處理的問題，都可用拉氏方程處理，反過來則不盡然.拉氏方程在許多方面要優(yōu)于牛頓方程.