柯西中值定理的證明及應(yīng)用

吉青艷

緒論

柯西中值定理是微分學(xué)中重要基本定理之一，是連接導(dǎo)數(shù)與連續(xù)函數(shù)的橋梁，是構(gòu)成微分學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，用途也十分廣泛，經(jīng)常作為考試的重點(diǎn)內(nèi)容。因此，研究柯西中值定理的證明以及應(yīng)用是非常有必要的。

在國(guó)外，羅爾由費(fèi)馬引理推導(dǎo)出來(lái)羅爾中值定理，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日又根據(jù)羅爾中值定理構(gòu)造函數(shù)證明出了拉格朗日定理。最后柯西根據(jù)拉格朗日插值定理證明得出柯西中值定理，我們可以把拉格朗日中值定理看作是柯西中值定理的特殊形式。羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是微分學(xué)重要定理。這些定理都是有關(guān)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)與它們導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用它們我們可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性以及函數(shù)凹凸性及零點(diǎn)等問(wèn)題。

在國(guó)內(nèi)，近十年來(lái)，我國(guó)對(duì)中值定理的新證明進(jìn)行了研究，僅在國(guó)內(nèi)發(fā)表的文章就有很多篇。例如趙香蘭2004年在《大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)》上發(fā)表《巧用微分中值定理》，周本虎2006年在《大學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表《ξ-η等式的證明方法》，荊天2008年在《科學(xué)信息》上發(fā)表《柯西中值定理及其應(yīng)用》，王樹勛和葉正麟2008年在《高等數(shù)學(xué)研究》上發(fā)表《柯西中值定理的幾何解釋》，耿信社2011年在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》上發(fā)表《柯西中值定理的應(yīng)用》和《柯西中值定理的幾種證明》等等。

本文通過(guò)證明柯西中值定理，試著去研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且研究其應(yīng)用，有助于我們更好的掌握柯西中值定理的性質(zhì)，并用它去解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題和推導(dǎo)一些定理。……