Lindley-Geometric分布相關性質的研究

田兵

摘?要：給出帶有兩個參數的混合分布—Lindley-Geometric分布（LG分布）的概率密度和失效率函數的單調性證明，同時給出了LG分布的Rényi熵和Shannon熵.

關鍵詞：Lindley分布;Geometric分布;失效率函數;Rényi熵;Shannon熵

[中圖分類號]0212.1???[文獻標志碼]J

The Researches about the Properties of LG Distribution

TIAN ?Bing

（Faculty of Mathematics，Baotou Teachers College，Baotou 014030，China）

Abstract：The paper illustrates the prove of monotonicity about probability density and failure rate of LG distribution ， presents its Rényi entropy and Shannon entropy.

Key words：Lindley distribution;Geometric distribution;failure rate;Rényi entropy; Shannon entropy

人們通常采用失效率研究對象壽命的概率分布. 王蓉華、徐曉嶺、顧蓓青[1]介紹了失效率圖形常見的特點. Adamidis K 和Loukas A S[2]， Coskun Kus[3]，Rasoo Tahmasbia 和 Sadegh Rezaeib[4]分別研究了EG 分布（指數-幾何分布）、EP 分布（指數-泊松分布）和EL 分布（指數-對數幾何分布）. Ghitany等[5]研究Lindley分布諸多性質，并指出Lindley分布具有許多比指數分布還要靈活的性質.Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi[6]提出了一種新的帶有兩個參數的壽命分布——Lindley-Geometric分布（簡記為LG分布），研究了其概率密度、矩、失效率函數、平均剩余壽命函數和Bonferroni and Lorenz 曲線以及概率加權矩等性質，給出了LG分布參數的極大似然估計的漸近方差——協方差陣.本文在文獻[6]的基礎上，給出了LG分布概率密度和失效率函數的單調性證明，同時給出了Rényi熵和Shannon熵.

1?LG分布的f（x，θ），h（x，θ）單調性

服從參數為p，β的LG分布的分布函數F（x）和概率密度分別為[6]

F（x，θ）=1-（1-p）[1+β x/（β+1）]eβ x-[1+β x/（β+1）]p，f（x，θ）=（1-p）β 2（x+1）eβ x（1+β）[eβ x-（1+β x/（β+1））p]2 .（1）

1.1?f（x，θ）單調性

對LG分布的f（x，θ）求導得

f′（x，θ）=（p-1）β 21+β·e β x[e β x（β x+β-1）+p（1+β 2（1+x）2）/（β+1）][e β x-（1+β x/（β+1））p]3.（2）

令M（x，θ）=e β x（β x+β-1）+p[1+β 2（1+x）2]/（β+1），有M′（x，θ）=β 2（1+x）[e β x+2p/（β+1）]>0，故A x∈[0，+∞），M（x，θ）嚴格單調遞增. M（x，θ）=[（1+p）β 2+p-1]/（1+β）.所以有：

若M（0，θ） ≥0，即β≥（1-p）/（1+p）.由M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，故A x∈[0，+∞），M（x，θ） ≥0，進而可得f′（x，θ）<0，故此時f（x，θ）單調遞減.

若M（0，θ） <0，即0<β<（1-p）/（1+p）.此時M′（x，θ）>0，M（+∞，θ）=+∞，則

x0∈（+∞，θ），有M（x，θ） =0.可得A x∈[0，x0），有M（x，θ） <0，故f′（x，θ）≥0. A x∈[x0，+∞），有M（x，θ） ≥0，故f′（x，θ）<0.因此，f（x，θ）先單調遞增后單調遞減.

圖1是LG分布在p=0.5;β=1/3，0.5，1，2時f（x，θ）的圖形. 圖1驗證了上述結論.

1.2?LG分布的h（x，θ）的單調性

由（1）式可得LG分布的失效率函數及失效率函數的導數分別為

h（x，θ）=β 2e β x（1+x）[e β x-（1+βx/（β+1））p][β+1+β x].（3）

h′（x，θ）=β2e β x[e β x-p（1+β x/（β+1））（β 2（1+x）2+1）]/（β+1）2.（4）

令y1=e β x，y2=p[1+β x/（β+1）][β 2（1+x）2+1]，N（x，θ）=y1-y2，則有：

A x∈[0，+∞），y1>0，y′1>0，y"1>0，y′2=pββ+1[1+β 2（1+x）2]+2β 2（1+x）1+β xβ+1>0，y2>0，y"2=p4β 3（x+1）β+1+2β 21+β xβ+1>0，limx→+∞y1y2=+∞，y1（0）=1，y2（0）=p（1+β 2）.

所以A x∈[0，+∞），y1，y2均為嚴格單調遞增且函數值恒為正的函數.當x趨于正無窮大，y1是比y2高階無窮大.因此，可得如下結論：

（1）當y1（0）>y2（0），即0y2，N（x，θ）>0，h′（x，θ）>0.此時h（x，θ）嚴格單調遞增.

（2）當y1（0）≤y2（0），即（1+β 2）-1≤p<1，則有c∈（0，+∞），N（c，θ）=y1（c）-y2（c）=0.因而A x∈[0，c），有y1

從圖2可以發現：當（1+β 2）-1≤p<1， p=0.5，β=2;p=1/3;β=3時，h（x，θ）先單調遞減之后單調遞增.當0

2?Rényi和Shannon熵

Rényi和Shannon熵用來刻畫隨機變量X的不確定性、多樣性.r階Rényi熵的定義為

IR（r）=11-rlog∫+∞0fr（x）dx，r>0，r≠1.

LG分布的Rényi熵為

IR（r）=11-rlog∫+∞0（1-p）β 2β+1r（1+x）rdxeβ rx[1-（1+β x/（β+1））pe-β x]2r.（5）

由（1-z）-n=∑∞j=0Γ（n+j）zjΓ（n）j！，n≥1，z∈R，將（5）式的分母展開后代入得

IR（r）=11-rrlog（1-p）+log∑ri=0∑∞j=0∑jl=0

（2r+j-1）！CrjCjlβ2l+2r+i+1pj（i+l）！（2r-1）！（1+β）l+r（j+r）l+i+1j！.（6）

Shannon熵的定義為SEX=E[-log（f（X））]. LG分布的Shannon熵為

SEX=1n1+β（1-p）β 2-∑∞i=1（-1）i-1E（Xi）i-1-β E（X）+2∑∞j=1∑jl=0Cjlβl（1+β）-lpjj-1E（Xle-β jX）.（7）

將E（Xk，θ）=∑∞n=1∑n-1i=0n（1-p）pn-1Cin-1[n（β+1）+k-i]Γ（n+k-i）（β+1）n-iβknn+k-i+1.

E（Xae-bX）=（1-p）∑∞j=0∑jl=0（j+1）Cljβ2+l（1+β）-l-1pj（a+l）！[β（1+j）+b]a+l+11+a+l+1β（1+j）+b

代入（7）式可以計算LG分布的Shannon熵.

3?結論

當β≥（1-p）/（1+p）時，f（x，θ）單調遞減;當0<β<（1-p）/（1+p）時，f（x，θ）先單調遞增后單調遞減. 當0<β<（1+β 2）-1，則h（x，θ）嚴格單調遞增;當（1+β 2）-1≤p<1，則h（x，θ）先單調遞減之后單調遞增. ?LG分布的Rényi，Shannon熵分別為公式（4）和公式（5）.

參考文獻

[1]王蓉華.一種新的壽命分布：三參數威布爾—泊松分布[J]. 統計與決策，2016（12）：65-67.

[2]Adamidis K，LoukasA S. Lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics Probability Letters，1998，39（1）：35-42.

[3]Coskun Kus. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics Data Analysis，2007，51（9）：4497-4509.

[4]Rasool Tahmasbia，Sadegh Rezaeib.A two-parameter lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis，2008，52（8）：3889-3901.

[5]Ghitany M E， Atieh B， Nadarajah S. Lindley Distribution and its Applications[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2008（78）：493-506.

[6]Hojjatollah Zakerzadeh， Eisa Mahmoudi. A new two parameter lifetime distribution： model and properties[J]. Computational Statistics and Data Analysis May，2014，10.

[7]趙文英，袁赫. 基于改進logistic模型的中國社會消費品零售總額預測[J]. 牡丹江師范學院學報：自然科學版，2018（4）：15-18.

[8]胡文濤，張理，王子姣. 基于主成分分析法的中國進口貿易影響因素研究[J]. 牡丹江師范學院學報：自然科學版，2018（1）：1-6.

編輯：吳楠