分塊矩陣初等變換的妙用

【摘要】：在求解高階矩陣的秩、以及逆矩陣時，往往伴隨著復雜、冗長的計算.而運用分塊的思想，首先把所求矩陣進行合適的分塊，其次把矩陣的初等變換的方法運用到分塊矩陣上，可以使問題相對簡單化，從而實現簡化計算的目的.

一、分塊矩陣求逆矩陣

1.設A，B是n階方陣.若7A+B與7A-B可逆，求解的逆矩陣.

解：

2.已知分塊矩陣可逆，其中H為n階矩陣，K為 m階矩陣，證明：H和K都可逆，并求N-1.

證明：detN=detHdetK≠0，所以detH≠0，detK≠0.

因此H和K都是可逆矩陣.

一、分塊矩陣求秩

3.設矩陣A，B∈Pn×m，證明：秩（A+B）≤秩

證明：

4.已知 n階矩陣A滿足A2-18A+77E=0，E為n階單位矩陣，證明：秩（A-7E）+秩（A-11E）=n.

證明：由于初等變換不改變矩陣的秩.

【參考文獻】：

【1】董李娜，常曉鵬.分塊矩陣廣義初等變換的應用[J].河南教育學院學報（自然科學版），2018，27（04）：58-61.

【2】王蕾.分塊初等矩陣及應用[J].數學學習與研究，2014（19）：109.

作者簡介：張曉，女，甘肅蘭州，大學本科，西北師范大學，研究方向：數學與應用數學