函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用舉例

夏婧

摘 ? 要：在數(shù)列教學(xué)中滲透函數(shù)思想對于教學(xué)和實際生活應(yīng)用意義重大，對函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用進行舉例，方便學(xué)生加深對數(shù)列的理解和認識。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;函數(shù)思想;相互關(guān)系

數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域為自然數(shù)集N（或它的有限子集{1， 2…， n}）的函數(shù)f（n），當自變量n從1開始依次取自然數(shù)時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值f（1）， f（2），…，f（n）通常用an代替f（n）。于是數(shù)列的一般形式如a1， a2…，an，簡記為{an}。其中an是數(shù)列{an}的第n項，也叫通項。因此數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們經(jīng)常求的數(shù)列的通項公式實際上即求數(shù)列{an}的第n項與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式。

1 ? ?函數(shù)思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用

在等差數(shù)列中，已知任意兩項，就可確定任何一項，例如已知a3=5，a5=9，求a10，最常用的方法就是解方程組，求出a1和d。這是因為等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）是關(guān)于n的一個不超過一次的函數(shù)。當d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，而一次函數(shù)，只需兩個系數(shù)就可以確定，當d=0時，an=a1，an是關(guān)于n的一個常函數(shù)。另一方面，如果an=cn+d，則{an}一定是等差數(shù)列，因此等差數(shù)列是一系列分布在一條直線上的離散的點。等差數(shù)列的前n項和Sn=na1+=n，當d≠0時，此式可看作二次項系數(shù)為，常數(shù)項為0的二次函數(shù)，其圖像為拋物線y=上離散的點，因此，由二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出Sn最大值（或最小值）。

2 ? ?函數(shù)思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用

等比數(shù)列的通項公式是an =aqn-1，由于它可以變形為，而中各項所表示的點離散地分布在第一象限或第四象限，當q>0時，這些點在曲線上，（即y=cqx，這里為不等于0的常數(shù)）。等比數(shù)列的前n項和，當q>0且q≠1時，{Sn}所表示的點在曲線y=b-bqn（這里為不等于0的常數(shù)）上，具有類似指數(shù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，很快能夠得出：若一個數(shù)列{an}的前n項和Sn=b（1-qn），則{an}一定為等比數(shù)列。

3 ? ?函數(shù)思想在求數(shù)列最大、最小項中的應(yīng)用

在數(shù)列{an}中，不等式an>an+1的解集是使數(shù)列{an}單調(diào)遞減的n的取值范圍，不等式an≥an-1的解集是使數(shù)列{an}單調(diào)遞增的n的取值范圍，因此an≥an+1且an≥an-1的解集是使an取最大值時n的值，因此，求數(shù)列的最大項或最小項通常利用函數(shù)單調(diào)性去求解。例3：已知數(shù)列{an}的通項公式，求此數(shù)列的最值。

4 ? ?函數(shù)思想在數(shù)列間相互關(guān)系中的體現(xiàn)

在研究某些數(shù)列的相互關(guān)系時，也經(jīng)常用到函數(shù)的觀點，尤其是將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。

5 ? ?結(jié)語

函數(shù)思想在數(shù)列中有著廣泛的應(yīng)用，在平常教學(xué)中不斷滲透函數(shù)思想，不僅使學(xué)生對數(shù)列本質(zhì)有深刻的認識，也能進一步加深對函數(shù)的理解。