巧用規律 化繁為簡

賽先生

德國數學家高斯被譽為“數學王子”。他推動了多個數學領域的發展，這得益于他從小養成的愛思考、愛總結、愛找規律的習慣。

據說高斯在讀小學時，有一次老師出了一道數學題：1+2+3+……+99+100=？沒過多久，高斯就說算好了，答案是5050。老師驚訝得張大嘴巴，答案是正確的，高斯怎么算得如此迅速？

高斯告訴大家，他將“1+2+3+……+99+100”寫成一排，再在下面寫“100+99+98+……+2+1”，每列上下兩數相加等于101，共有100個101相加，100×101=10100。那么，1+2+3+……+99+100=10100÷2=5050。

用高斯的方法，我們可以推導出求正整數依次相加之和的公式嗎？1+2+3+……+（n一1）+n=？

同樣的，我們把“1+2+……+（n一1）+n”寫成一排，在下面對應寫“n+（n一1）+……+2+1”，每列上下兩數相加等于n+1，共有n個n+l。那么，1+2+3+……+（n-1）+n=（n-1）+n/2。

我們如果將“1+2+3+……+（n-1）+n”具體化為如下圖的石子堆，能發現什么？

1粒石子、1+2粒石子、1+2+3粒石子、1+2+3+4粒石子……我們觀察后不難發現，每堆石子都可以被排成等邊三角形。石子總數分別為1、3、6、10……這些數被稱為三角形數。也就是說，正整數依次相加的和（n-1）+n/2必是三角形數。

我們繼續探索，稍微改變那4堆石子的排法，讓它們排成等邊直角三角形。

然后，如上圖所示，我們用兩個相同的等邊直角三角形石子堆構成長方形石子堆。通過觀察，我們發現，長方形石子堆一邊是n、另一邊是n+1，共有石子數為n（n+1）。

我們來檢驗這一結論：三角形石子堆的石子數為（n+1）n/2，兩個三角形石子堆的石子數是2x（n+1）n/2=n（n+1），與剛剛算的結果相同。

我們在生活中會遇到三角形數嗎？當然會！比如堆木樁，如果人們在地上平放45個木樁，再依次往上放木樁，把木樁堆成等邊三角形，一共能堆多少個木樁？我們很快就可以算出答案45x（45+1）/2 =1035。

舉一反三，對很多問題，我們可以快速解答。假設有7位來自不同學校的學生參加一個會議，在參會前倆倆握手認識，他們一共握手多少次？

我們來分析一下，第1位學生與其他6位學生分別握手，握手6次。第2位學生已經與第一位學生握過手了，只需與其余5位學生握手5次。第3位學生已經與前兩位學生握過手了，只需與其余4位學生握手4次。如此類推，第4位學生接下來握手3次，第5位學生接下來握手2次，第6位學生接下來握手1次，第7位學生不用再握手了。

看，上圖和我們之前看到的等邊三角形石子堆如出一轍，那我們很快就能算出來：6x（6+1）/2=217位學生一共握手21次。

如果宴會上12位朋友倆倆碰杯，共碰杯多少次？同理，我們也可以這樣求解：11x（11+1）=66，12位朋友一共碰杯66次。

這樣的例子有很多。數學與生活緊密聯系，還有很多規律等待人類學習、發現，我們繼續探索吧！