網格新型考題的歸類例析

郭彩慶

摘 要：近幾年中考出現的以“網格”為背景的新型題因其具有知識面覆蓋廣、綜合性強、思維含量高等特點，在實際操作中具有很強的發展性和創造性，具體體現在命題形式和解題過程上，對其深入進行分析探討，探究解題策略很有必要。

關鍵詞：網格新型考題；試題呈現；試題研究；進一步思考

在正方形網格中畫出符合條件的點或線，是天津市中考卷第18題的命題點，此類題已歷7年，現已成為天津市中考卷的區域亮點.題設有兩問，第一問求線段長或角，主要圍繞勾股定理展開，比較簡單；第二問所涉及的知識面廣、思維靈活、難度大，對大多數的考生來講面臨的是一場“挑戰”，但若訓練有法還是可以戰勝的，同時開闊思維，提升素養.

一、試題呈現

題目：如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上.

（1）∠ACB的度數為______；

（2）在如圖所示的網格中，P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉角等于∠BAC，把點P逆時針旋轉，點P的對應點為P′.當CP′最短時，試用無刻度的直尺，畫出點P′，并簡要說明點P′的位置是如何找到的（不要求證明）.

二、試題研究

1.教材背景

人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊習題23.1第1題第（1）小題“任意畫一個△ABC，作下列旋轉：以點A為旋轉中心，把△ABC逆時針旋轉40°”，此題是考查旋轉的基本作圖題，可以借助圓規和量角器完成，作用是鞏固旋轉的性質.習題23.1第4題“如圖2，分別畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°和180°后的圖形”，此題嘗試在網格中作旋轉，可以將△OAB逆時針旋轉90°，找到點A，B的對應點A′，B′，再找到點C的對應點C′，就可以畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的圖形（如圖3）.此題用無刻度的直尺就可以完成，其依據是在網格中可以借助全等三角形構造等腰直角三角形.

教材習題3介紹了利用旋轉性質作圖.由旋轉性質，P旋轉后應落在BC對應邊B'C'上，且AB旋轉至AC.這恰好為18題（Ⅱ）問確定B'位置、P'的軌跡積累了作圖經驗.習題4考查在網格中作△ABC的旋轉圖形.這與18題（Ⅱ）問僅使用無刻度直尺作圖原理一致.同時，18題（Ⅱ）問當CP'最短時，即C1P最短（如圖2，C1為邊AB上點，且AC1=AC），故（Ⅱ）問也可轉化為以A為中心，取旋轉角等于∠BAC，將△C1PB旋轉至△CP'B'，這與習題4顯然同類型，只不過習題4中旋轉角為90°和180°，作圖思維難度更小，可操作性更強.

2.探解法，變換角度尋路徑

題目第（1）小題中，∠ACB=90°.第（2）小題的作法與分析如下.

作法1：取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點D′，E′，連接D′E′交CD于點K；取格點M，N，連接MN交BC延長線于點G；取格點F，連接FG交TC延長線于點P′，則點P′即為所求.

作法2：取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點D′，E′，連接D′E′，取格點I，連接TI交D′E′于點H；取格點M，N，連接MN交BC的延長線于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長TC交C′F于點P′，則點P′即為所求.

作法3：作法同作法2，利用解析式法求解，即在網格中建立平面直角坐標系，通過直線解析式確定特殊點的坐標，使問題方便求解.

作法4：取格點D，E，連接DE交網格線于點K；取格點D′，E′，I，I′，連接D′E′，II′交于點H；取格點M，N，M′，N′，連接MN，M′N′交于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

作法5：取格點D，E，連接DE交網格線于點K；取格點D′，E′，I，I′，連接D′E′，II′交于點H；取格點M，N，M′，N′，連接MN，M′N′交于點G；取格點F，延長FG交AH的延長線于點C′；延長AC′交網格線于點F′；連接CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

從上述作法不難發現，五種作法的共同點是構造全等三角形或相似三角形，關鍵是找到判定三角形全等的條件.作法2的思考路徑較簡捷，說明此題借助幾何直觀解決更方便些.作法4和作法5在構造兩直線平行時，需考慮等角或對應線段成比例，方法巧妙，但不容易發現.這就是網格中存在的隱含條件，需要在網格中發現基本圖形，如相似、全等、平行、垂直等.對于作法1和作法2，若能以數思形，借助圖形進行直觀分析，就可以迅速獲得隱含條件，使問題形象、簡明地得以解決.

三、進一步思考

1.注重梳理總結，提升識題能力

網格題是近幾年的創新題型，對于學生來說求解存在一定的難度，但深入分析可以發現大部分網格題的命制都存在一定的章法，大多還是來源于課本知識，如考題1的垂直平分線的作圖以及考題2的新定義拋物線的計數，都是對學生幾何性質、定理的考查.因此，在平時的教學中，要引導學生對重點知識進行梳理總結，在掌握基本知識的前提下向知識的綜合應

用方向靠攏，對于一些模考題要善于從命題角度、知識內容、解題方式等方面進行分析總結，逐步提升學生的識題能力.

2.開展變式教學，培養創新思維

網格題背后所代表的教學深意是創新，涉及方法創新和思維創新.從創新程度上來看，網格題將平面幾何、解析幾何和代數運算巧妙地用網格的形式結合起來，求解方法同樣是三者的統一.解題思路也應從傳統的單一切入，轉化為多角度、多層次、全方位的思考.網格創新題對于學生的分析能力、推理能力、創新能力提出了更高的要求.因此，在教學中有必要在例題和習題的基礎上開展變式創新和解法創新，引導學生多角度分析問題，逐步培養其創新意識和創新思維.

3.善于聯想遷移，形成轉化之法

以圖形的性質、判定為依據，對已做過的基本題中所涉及的圖形及結論熟記于心，同時以基本圖形為起點進行聯想，在遷移中逐步轉化所求的問題.

據有關文獻稱，除上海外，中考試卷基本都能落實《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下面簡稱"課標"）的基本要求，但同時也深深打上了區域的烙印，有明顯的區域性導向.作為理科試題，區域性導向是否會造成教學的功利性，忽視其他題型對學生的訓練作用，以及演變成各個地區命題負責人的個人喜好，我們覺得，命題還是要立足課標，依據課本，關注初中數學核心素養的十大要素（數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力、數據分析觀念、模型思想、應用意識、創新意識），從掌握數學基礎知識、訓練數學基本技能、領悟數學基本思想、積累數學基本活動經驗出發，從系統、全面、科學地考查考生的“四基”和“四能”方面去命題.

參考文獻：

[1]陳國玉.常見的幾類網格問題例析[J].中學數學，2011（4）：33-34.

[2]蔡文娟.初中數學網格問題例析[J].新高考（升學考試），2016（5）.