利用COMSOL仿真進行二維光子晶體的教學

邱偉彬 林志立

摘? 要：文章以COMSOL RF 模塊為工具，進行半導體光電子學課程中的光子晶體的教學。文中以介質光子晶體和色散材料光子晶體為例，給學生介紹了如何利用商用軟件計算特定結構的光子晶體的能帶結構，并且實現二維光場結構的可視化輸出，使學生既掌握光子晶體能帶結構的特點，又掌握如何使用商用軟件來獲得此能帶結構。

關鍵詞：COMSOL;光波導;仿真;商用軟件

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）07-0084-03

Abstract： In this paper， we use COMSOL RF module as a tool to teach photonic crystals in semiconductor optoelectronics course. Taking dielectric photonic crystals and dispersive materials photonic crystals as examples， this paper introduces how to use commercial software to calculate the band structure of photonic crystals with specific structures， and realize the visual output of two-dimensional optical field structure， so that students can not only grasp the characteristics of band structure of photonic crystals， but also grasp how to use commercial software to get the band structure.

Keywords： COMSOL; optical waveguide; simulation; commercial software

一、概述

光子晶體是一直介電常數受到周期性調制的結構，類似于電子在晶體中的運動受到晶體中受到周期性勢場限制而呈現的允帶和禁帶，光子在周期性介電常數分布的結構中傳播時也出現允帶和禁帶，因此該晶體就被形象地稱為光子晶體。同樣類似于晶體，光子晶體也可以分為一維，二維和三維結構。光子晶體是半導體器件中的一個重要結構，以光子晶體為基礎，可以構建包括光波導、半導體激光器、分束器等一系列重要集成器件。在《半導體光電子學》課程中是一個重要內容，是電子科學與技術專業本科和碩士教學中的一個重點。

傳統的光子晶體教學方法是從解麥克斯韋方程出發，利用布洛赫定理，再采用平面波近似或緊束縛近似的方法獲得光子晶體能帶結構。這個方法基本上與第一性原理計算固體能帶的方法類似。其特點就是需要復雜的微分方程、電磁場理論、矢量分析等高深數學工具。在教學中往往需要冗長和晦澀的數學推導，同時，色散介質（介電常數隨著光波長的變化而變化）光子晶體能帶結構的計算則更加復雜難懂，導致學生望而生畏而失去興趣。因此光子晶體部分的教學一直以來都是本科高年級和碩士生《半導體光電子學》的一個難點。因此部分教材干脆拋棄這部分內容，導致學生知識面縮窄。如何有效進行該部分的教學，引導學生的學習興趣是擺在面前的一個重要課題。

本文根據工科本科生和碩士生的特點，避免冗長晦澀的數學推導，充分發揮商用軟件的優勢，簡單生動地得到光子晶體的能帶結構，利用軟件自帶的可視化輸出功能，使學生快速掌握光子晶體概念獲得能帶結構和光場分布。結合利用迭代方法，獲得色散介質的光子晶體的能帶結構。通過教學實踐，獲得了良好的教學效果。

二、COMSOL RF模塊的基本特點及優勢

COMSOL是一個基于有限元方法求解各類偏微分方程的商用軟件包，這個軟件包包括了射頻（RF）等20多個模塊。RF模塊被用于在一般電磁波領域內求解電磁問題，比如射頻，微波，光學和光子學問題。該模塊含有多個求解器包括本征值，邊界模，頻域傳播等，可以輕松獲得電磁波在介質和空間的傳播或局域化等特性，進而獲得傳播常數，有效折射率，品質因子，損耗系數等參數。這個模塊的優勢是可以將人們從繁瑣的編程中解放出來，無需編寫程序求解麥克斯韋。只要畫出所設計的光學結構，設定好材料參數，選用合適的求解器，軟件即可給出合適的輸出，人們可以根據軟件輸出研究電磁波（光波）的本征特性和傳播特性。這個軟件對于形象地理解半導體光電子器件的基本原理特別有效。尤其是數學基礎較差的工科學生來說，可以避免繁雜的數學推導，直接獲得器件中的電磁場分布和特征性質，是一個很有用的教學工具。

三、二維介質材料光子晶體的教學過程

我們首先以二維介質材料光子晶體為例，進行光子晶體能帶結構的教學。首先我們考慮一個以硅柱為散射體的立方晶格的光子晶體。由于我們考慮的是光波長1微米在近紅外區域，硅材料在這個區域范圍內的折射率不隨著波長的變化，同時其對光的吸收也可以忽略，因此可以將這個光子晶體結構考慮為純介質光子晶體。根據固體物理和半導體物理的知識，要獲得晶體的能帶結構首先應該知道其K空間中的布里淵區。此時可以引導學生回憶復習固體物理和半導體物理的相關內容，對于跨專業的碩士生可引導他們自主學習該部分知識。

圖1所示的就是所教學的硅材料光子晶體結構元胞示意圖和簡約布里淵區示意圖。我們首先在COMSOL RF模塊對話框打開參數對話框，輸入所需要的參數，如硅折射率 3.4，硅柱半徑 0.5um，正方晶格元胞的周期2um，即晶格常數等。整個晶體置于空氣之中，即周圍的折射率為1。設置K空間中的kx1=2Π/a， ky1=2Π/a。在材料對話框中設置硅材料折射率為3.4，空氣折射率為1.0.接下來我們在方程的對話框中設定周期性邊界條件，即kx=n*kx1，

ky=n*ky1， 對于kx，ky來說，根據所需要的K空間所需要計算的方向，n可以各自從0 到1取值。最后選取本征頻率求解器。對模型進行n值的掃描，即可獲得所需方向上的能帶圖形。作為一個例子，我們求解了K空間中從（0，0）到（0，kx1），再到（kx1，ky1）最終回到（0，0）這個路徑的能帶圖。圖2所示的即為該路徑的能帶圖。圖中可以明顯看出，能帶之間明顯存在著帶隙。以該模型為出發點，讓學生掌握如何計算光子晶體中的缺陷模式的本征頻率，品質因子和光場分布。最終讓學生掌握介質光子晶體的概念、特點、優勢和其他拓展知識。

四、二維色散材料光子晶體能帶的計算

對于二維色散材料光子晶體來說，其折射率隨著頻率的變化而變化，因此模型中不能直接求解本征頻率，而是要利用迭代的方法來計算。模型的構建和各種參數的輸入與介質材料光子晶體一樣。不同的是，我們首先輸入一個猜想的本征頻率f0， 根據模型計算輸出頻率f1，由于色散材料的原因，一般情況f0不等于f1，這時我們將f2=（f0+f1）/2代替f0作為猜想頻率輸入，得到輸出頻率，比較輸入頻率和輸出頻率的差值，當這個差值小于一定的范圍時，即可認為這個結果就是本征頻率，再改變其他參數，直至獲得整個能帶結構。

我們以石墨烯材料為例，構建二維色散材料光子晶體，圖3（a）所示的是光子晶體原胞示意圖，大面積部分石墨烯的化學勢uc1=0.7eV，而納米盤的石墨烯化學勢uc2=0.4eV， 晶格常數為50nm， 納米盤直徑為20nm。圖3（b）所示的就是向對應的能帶圖，圖中也可以明顯看出兩個允帶之間存在著一個禁帶。同樣地以此模型為出發，讓學生掌握石墨烯光子晶體中地缺陷態模式，計算其缺陷態模式的頻率，電磁場分布和品質因子等重要參數。

五、結束語

本文以COMSOL RF模塊為工具，在本科高年級和碩士生半導體光電子學中的光子晶體的教學過程中，繞開了冗長繁瑣的數學推導，以二維介質光子晶體和色散介質光子晶體能帶結構為例，數值化給出了光子晶體能帶結構，同時進行可視化輸出。并以此為基礎，讓學生掌握缺陷模式的計算與仿真，收到了良好的教學效果。

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