導數(shù)抽象函數(shù)的相關解法初探

卜雪雁

在導數(shù)的學習時，我們經(jīng)常遇到一些導數(shù)與抽象函數(shù)的問題，學生往往對這類題目束手無策，下面我通過幾個相關題目的分析解答，歸納一些這類題目的解。

1.已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（12）=?12，對任意的x∈R滿足f′（x）>4x，當α∈[0，2π]時，不等式f（sinα）+cos2α>0的解集為（）

A. （π/6，5π/6） B. （π/3，2π/3）

C. （4π/3，5π/3） D. （7π/6，11π/6）

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

分析：

令g（x）=f（x）+1-2x2，求導可得g（x）單調(diào)遞增，且g（1/2）=0，故不等式f（sinα）+cos2α>0的解集為g（sinα）>0的解集.

解答：令g（x）=f（x）+1?2x2，則g′（x）=f′（x）?4x>0，

故g（x）在R上單調(diào)遞增，

又g（1/2）=f（1/2）+1?2×1/4=?1/2+1?1/2=0，

∴g（x）>0的解集為x>1/2，

∵cos2α=1?2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α>0等價于f（sinα）+1?2sin2α>0，

即g（sinα）>0，

∴sinα>1/2，又α∈[0，2π]，

∴π/6<α<5π/6，故選D.

2.設f'（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，對任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=2x2，且在（0，+∞）上，f'（x）>2x，若f（2-a）-f（a）≥4-4a（a>0），則實數(shù)a的取值范圍為

A.[1，3） B.（0，1） C.（0，1] D.[1，+∞）

考點：

利用導數(shù)研究方程根的問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

分析：

本題考查構(gòu)造函數(shù)的方法、導數(shù)的應用、函數(shù)奇偶性的判斷等基礎知識，考查考生的運算求解能力、推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.求解時，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x2是解題的關鍵.

∵對任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=2x2，令g（x）=f（x）-x2，則g（-x）=f（-x）-（-x）2，g（x）+g（-x）=0，∴g（x）為奇函數(shù).又g'（x）=f '（x）-2x>0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而由奇函數(shù)的性質(zhì)得g（x）在R上單調(diào)遞增.∵f（2-a）-f（a）≥4-4a（a>0），且（2-a）2-a2=4-4a，∴f（2-a）-（2-a）2≥f（a）-a2（a>0），即g（2-a）≥g（a）（a>0），∴2-a≥a且a>0，解得0

3.已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）+f（x）=lnx/x，且f（e）=1/e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則不等式f（x）+e>x+1/e的解集是

A. （0，e） B. （0，1/e） C. （1/e，e） D. （e，+∞）

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

分析：根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），求出其導數(shù)g′（x）=xf′（x）+f（x）=lnx/x，求出其積分可得g（x）=1/2（lnx）2+C，又由f（e）的值計算可得g（e）=1，由此可得C的值，即可得f（x）的解析式，令h（x）=f（x）-x，對其求導分析可得函數(shù)h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上遞減，將不等式f（x）+e>x+1/e轉(zhuǎn)化為h（x）>h（e），結(jié)合h（x）的單調(diào)性分析可得答案.

解答：

根據(jù)題意，設函數(shù)g（x）=xf（x），其導數(shù)g′（x）=xf′（x）+f（x）=lnx/x，

則g（x）=1/2（lnx）2+C，

又由f（e）=1/e，則g（e）=ef（e）=1，

則g（e）=1/2（lne）2+C=1，解可得C=1/2，

則g（x）=xf（x）=1/2（lnx）2+1/2，則f（x）=1/2x（lnx）2+1/2x

令h（x）=f（x）?x，其導數(shù)h′（x）=f′（x）?1=?（lnx+1）22x2<0，

故函數(shù)h（x）=f（x）?x在（0，+∞）上遞減，

f（x）+e>x+1/e f（x）?x>1/e?e f（x）?x>f（e）?e h（x）>h（e），

又由函數(shù)h（x）=f（x）?x在（0，+∞）上遞減，

則有0

希望通過這幾個題目的分析解答，大家可以對這類與導數(shù)相關的抽象函數(shù)的解題方法有一定的幫助。