設而不求思想的拓展應用

黎平

摘要：設而不求是解析幾何的基本思想，本文將設而不求思想的應用范疇從非對稱型拓展到對稱型，從雙交點型拓展到單交點型，從線參數型拓展到點參數型，并通過三拓展深刻揭示了設而不求的“思想架構”.

關鍵詞：設而不求;整體方式;消元方式;形式變換法;聯立消元法; 表示代入法;構造代入法;點參數;線參數

設而不求是解析幾何的基本思想，在直線與圓錐曲線相交條件下求解的解析幾何問題可以稱為直線與圓錐曲線相交問題，在這類問題中，我們可設出交點坐標，用交點坐標表示幾何條件、幾何結論和幾何量，但并不求出交點坐標，而通過整體代入等方式簡化運算，這就是設而不求思想。

在直線與圓錐曲線相交問題中，交點坐標表示幾何條件、幾何結論和幾何量得到的式子可稱為坐標式，當坐標式是對稱式時，我們不難應用設而不求思想進行求解，這是我們所熟悉的設而不求思想的應用范疇，其實這一應用范疇可以得到很大的拓展，本文正是論述了設而不求思想在三個方向上的重要拓展。

一、由對稱型到非對稱型

在直線與圓錐曲線相交問題中，當坐標式是對稱式時，我們稱為“對稱型”，在對稱型問題中不難實現設而不求.當坐標式是非對稱式時，我們稱為“非對稱型”，在非對稱型問題中如何實現設而不求呢？這有兩種方法，其一是“形式變換法”，其二是“聯立消元法”。

1.用形式變換法實現設而不求

這個問題中的坐標式是非對稱式，解法一利用韋達定理對坐標式進行了形式變換，再整體約分，而解法二則是利用橢圓方程對坐標式進行形式變換，將其變換為對稱式后用韋達定理.

由以上解法可見當坐標式是非對稱式時，可利用韋達定理或圓錐曲線方程對坐標式進行形式變換，再通過整體代入、整體約分或整體消去實現設而不求，這種方法就是形式變換法.

在形式變換法中，我們通過形式變換達到整體代入、整體約分或整體消去的目的，從而實現設而不求.

2.用聯立消元法實現設而不求

在聯立消元法中，我們設出了交點坐標，但并不求出交點坐標，而通過消元簡化運算，這就實現了設而不求.但當坐標式比較復雜時，將坐標式與韋達定理兩式聯立后，消去坐標并不容易，所以聯立消元法更適用于坐標式比較簡單的問題.

二、由雙交點型到單交點型

在直線與圓錐曲線相交問題中，幾何條件、幾何結論和幾何量一般都涉及兩個交點，這就是所謂的”雙交點型”，但有時也只會涉及一個交點，這是所謂的“單交點型”.對單交點型問題能否實現設而不求呢？單交點型問題如果涉及交點分線段所成比值 ，可采用“ 表示代入法”實現設而不求.

在以上問題中參數是橢圓的基本量a、b、c，要求 范圍，應將 用a、b、c表示，再進而用離心率e表示，那么如何用a、b、c表示 呢？在以上解法中，我們先設出交點坐標，利用向量建立交點坐標與 的關系式，然后用 表示交點坐標，再將表示式代入橢圓方程消去交點坐標，建立起 與a、b、c的關系式，這就是 表示代入法. 表示代入法主要適用于單交點型問題中涉及交點分線段所成比值 的問題.

在 表示代入法中，由于 的特殊“向量性”（即 滿足向量數乘關系），我們可將交點坐標用 表示，從而通過代入橢圓方程消去交點坐標，這其實是通過消元方式實現了設而不求，這一點正如聯立消元法.

三、由線參數型到點參數型

1.點參數型中的“設而不求”

在點參數型的直線與圓錐曲線相交問題中，我們常設出交點坐標作為參數，交點的橫、縱坐標和不同交點的坐標之間都有一定的約束關系，所以交點的橫、縱坐標可以用其它坐標進行表示.如果只是設出交點坐標作為參數但不進行這樣的表示，而通過整體約分等方式簡化運算，這就是點參數型問題中的”設而不求”.點參數和線參數型問題中的設而不求形有異，但質相同，這正是殊途同歸.

如何在點參數型問題中如何實現設而不求呢？這有兩種方法，其一是”形式變換法”，其二是 “構造代入法”，這里重點介紹后者.

2.構造代入法與點參數型

為了簡化運算，在以上解法中我們根據 這兩個條件通過方程相乘和相加的方式構造出了 這兩個式子，再利用圓的方程得出 ，通過整體代入就消去了這些參數，這種方法的關鍵是構造出 這兩個式子，我們可以稱其為構造代入法.

數學中的思想方法是深刻的，所以我們對數學思想方法的認識是一個不斷深入的過程，對于那些熟悉的思想方法，在”驀然回首”之時，我們或許會有新的認識和感悟.在中學數學的教學和解題中，我們應該以新問題和新方法為契機和原動力，對于那些我們所熟悉的思想方法進行再認識和再思考，這一定可以讓我們有全新的發現。

參考文獻：

[1]直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略[J].中學教研（數學），2013（2）：17-20.