構造函數法在高考壓軸題中的應用

蘇學英

函數是高中代數內容的主干和核心內容，函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括、提煉，就是用函數與變量去思考問題，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造新的函數，再利用函數的圖像或性質去分析問題，轉化問題，從而使問題得到解決，其關鍵是構造函數，是考生再創造能力和化歸轉化能力的體現，因此，構造函數在壓軸題的考查中幾乎年年都出現。

一.如何構造函數 ？

構造函數的目的是為了通過研究構造函數的單調性得到最值，從而達到證明不等式或求最值的目的。

而通過導數研究單調性首先要判斷構造函數的導函數的正負，因此，構造函數的關鍵在于其導函數的零點是否易求或易估

二.構造函數后分類討論的依據是什么？

1、導函數零點的存在性

2、導函數零點大小的不確定性

3、函數最值問題取得的可能性

4、導函數零點分布的不確定性

，新課標全國卷壓軸題很多題均可用構造函數的方法來解答，下面我們分享一些解法：

類型一 直接作差構造函數

例1（2015新課標Ⅱ卷21）設函數 .

（1）證明： 在 單調遞減，在 單調遞增；

（2）若對于任意 ，都有 ，

求 的取值范圍.

思路：（2） 恒成立，等價于 .由（1）可得最小值為

，最大值可能是 ，故需 ，即 .

構造函數 ，可得 的單調性及 ，進而得m的范圍.

例2（2013新課標Ⅰ卷21）已知函數 = ， = ，若曲線 和曲線 都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線

（Ⅰ）求 的值

（Ⅱ）若 ≥-2時， ≤ ，求 的取值范圍。

思路：（Ⅱ）作差法構造函數

設函數 ，

，有題設可得 ≥0，即 ，

令 =0得， =-2，

此時，類比二次函數根的分布進行分類討論解答，得 的取值范圍為[1， ].

例3（2012新課標Ⅰ卷21）已知函數 滿足 ；

（1）求 的解析式及單調區間；（2）若 ，求 的最大值

思路：（2）因為 ，令 ，得

①當 時， 在 上單調遞增

時， 與 矛盾

②當 時，

得：當 時，

令 ；則

當 時，

當 時， 的最大值為

類型二 間接構造函數

有些題如果利用類型一直接作差構造函數很難達到目的，就需要對函數適當變形（分離指、對函數構造函數、放縮、控元構造函數）巧妙構造一個函數，達到化解難點的目的。

例4：（2014新課標Ⅰ卷）設函數 ，曲線 在

點（1， ）處的切線為 .（1）求 ；（2）證明：

思路：采用分離指對函數的構造法，如果直接采用原函數 的最小值 ，這需要求出導函數 的零點，無法求解。容易看出，導函數零點求解運算的難點在于遇到了 與 這兩個式子，為化解這個難點，實施 與 、的分離，從而轉化成不等式 證明

例5.（2016全國Ⅱ文）已知函數 .

（I）當 時，求曲線 在 處的切線方程；

（Ⅱ）若當 時， ，求 的取值范圍.

思路：若對 直接求導，導函數的正負很難去判斷，需多次求導。按如下方法巧妙拆分就比較容易：當 時， 若等價于 ，令 得之。

說明：例5.例6采用了分離指、對函數構造函數。

例6：（2013新課標Ⅱ卷）已知函數

（1）設 為 的極值點，求 并討論 單調性；

（2）當 時，證明

思路：如果不加思考直接用作差法構造函數 ，則會無法求解 ，問題出在含參，因此應該控元，放縮到函數 的最值求解中，結合二次求導和零點存在定理估算出 的根 ，從而求得 。

說明：本題采用放縮、控元構造了新的函數。

例7：（2013新課標Ⅰ卷21）如上例2換個角度

思路：即證明： 恒成立。構造函數 ，則即證 恒成立。得 根據導數的正負討論單調性求得最值，

相比作差法構造函數分類討論的方法，達到了事半功倍的效果

說明：此題采用分離參數后構造新函數.

高考壓軸題中構造函數法可謂是比比皆是，除了壓軸大題，我們也要關注12題。所以在訓練中要引導學生丟掉恐懼心，大膽細致分析，這些題一般都有規律可循，相信天道酬勤。

（作者單位：寶雞中學）