基于核心素養下高三復習課的探究性教學

馬明霞

眾所周知，近幾年高考正在由能力立意向核心素養導向轉變，如何在高三復習課中落實核心素養？這就要改變課堂的教學方法與學生的學習方式，凸顯學生的主體地位。而高三數學復習的一貫模式只會讓學生處于題海之戰的疲憊狀態，久而久之，一些學生對數學失去興趣，更談不上核心素養的提升與落實。究其因，題型雜而無形，方法零散不能融會貫通。面對這一現狀，筆者在一次復習課上，作了如下探究性教學嘗試。

問題：已知拋物線 的焦點為 ， 為拋物線上兩動點，且 ，過 兩點分別作拋物線的切線，設交點為 。

（1）證明： 為定值；（2）略。

1.問題的分析與求解

圓錐曲線問題是每年高考必考內容，又是學生復習的難點，題目一給出，學生開始畫圖分析，試圖盡快得出答案。思考之后，初步探索出解題思路。

生1：可先特殊化，當 時， ，得 =0.實質是證明 =0.

師：由特殊向一般過渡，這種分析問題的思路很好，關鍵如何做一般性證明？

同學們都紛紛演算，片刻后。

生2：設出 兩點坐標，由 ，用 可表示 兩點坐標關系（思索），想辦法求出 點坐標，利用數量積證明。

師：那你怎樣求出 點坐標？

生2：設拋物線兩切線方程并聯立，求 點坐標。

教室內展開激烈討論。

生3：設切線方程還得求斜率，由 知 是一個二次函數，利用導數法求曲線上點 處切線斜率，從而寫切線方程，聯立兩切線方程求 點坐標。

師：生3分析的很好，請這位同學上黑板板書過程。

生3：證明：由題意 設 ，由 得，

，

將（1）式兩邊平方并把 代入得：

解（2），（3）式得： ，且有： 。

拋物線方程為 ， ，

所以過 兩點的拋物線的切線方程分別為：

，

聯立求解得 點坐標為 ，

=（ ，

故 =0.

生4：老師，我由 看出 共線，這樣可設過焦點的直線方程求解 坐標關系。

師：生4說的對，可以拋開 來證明 =0.

生4：由 知 共線，設過焦點 的直線方程為：

由 ，設 ，則 。

求 點坐標與生3相同，即 ，以下證明與生3同。

師：這位同學分析很精彩，將直線與圓錐曲線的常規解法引用進來，韋達定理用的很巧妙。

生5：老師生4解答不完整，對直線斜率不存在的情形未分析。

我結合學生的討論，對解題中的細節做了重點強調，并指出同學們易忽視的問題。接著針對

這道題的求解提出如下問題：

（1）根據本題，對拋物線 ，兩切線交點 的坐標是？點 的位置？

（2）直線 與 的位置關系如何？

（3）探究 是否為定值？

（4）此問題結論是什么？對其他形式的拋物線成立嗎？

在學生自主探究，討論反思的基礎上，得到答案。

生6：（1）點 的坐標是 ，點 在拋物線的準線上；

（2）由上述解題易證 ；（略）

（3）在上面題目中， =-3，對拋物線 ， ；

（4）結論：過拋物線 焦點 的直線交拋物線于 兩點，過 兩點作拋物線的切線，兩切線相交于點 ，則：

①點 在準線上；② =0.；③ ；④ ；⑤結論對其他形式拋物線也成立。

師：總結很到位，在高三復習中就應該象這樣去分析每一道試題，才有收獲。我趁機提出本節課復習的一個知識點――――拋物線焦點弦的性質。

2.拋物線焦點弦性質探究

2.1提出問題串，創設學習情景

設 是拋物線 的焦點弦，且 ，

問題1 ？， ？

問題2 弦長 =？，若已知直線 的傾斜角為 ，則弦長 =？

問題3 三角形 的面積怎樣表示？

問題4 能否為定值？

問題5 以弦 為直徑的圓與準線的位置關系是怎樣的？

問題6 以焦半徑 或 為直徑的圓與 軸的位置關系怎樣？

問題7 記 兩點在準線上的身影為 兩點，則

問題8 以 為直徑的圓與弦 的切點是？

對于這些問題，學生熱情很高，在前面問題解答的基礎上，有些學生化一般為特殊，有些學生設方程聯立，有些學生用幾何方法，同學們相互討論，相互交流，自主探究，逐步形成了自己的思維方法，提高了分析問題和解決問題的能力。

2.2反思結論，歸納總結

在學生探索證明的基礎上，我叫個別學生講述了證明思路（略）并總結拋物線焦點弦性質。

生7：性質：（1） ， ；

（2） 為直線 的傾斜角）；

（3） （ 為直線 的傾斜角）；

（4） 為定值 ；

（5）以弦 為直徑的圓與準線相切；

（6）以焦半徑 或 為直徑的圓與 軸相切；

（7） ；

（8）以 為直徑的圓切 于點 。

從一道高考試題筆者引導學生探討了與拋物線焦點弦有關的問題，作為復習，時間有限，到此已經很完美了，可學生問題又來了。

生8：把上面題中拋物線換成橢圓，兩切線的交點 好像也在準線上，且 =0，是不是這個結論對三種圓錐曲線都成立呢？

師：既然有同學把這個問題提出來，咱們一起探究吧。

3.拓展延伸

師：我們以橢圓為例證明，設橢圓 ，過右焦點 的直線與橢圓交于 兩點，過 兩點分別作橢圓的切線，設交點為 。試證：點 在準線上，且 =0。

生9：結論成立，但拋物線方程 表示函數，可用導數法求切線斜率，而橢圓 表示的不是函數關系，這類問題以前沒見過，太難不會證啊。

一些同學陷入了深深的思考中，一些同學想通過直線與橢圓相切的條件化簡，但半途而廢。

師：能不能將方程 變成函數關系？

生3：可以，依然用拋物線中的方法研究，就是運算量大些（部分學生有一定的類比遷移能力，但還需要引導與培養）。

在生3的提示下，同學們開始揮筆運算了，個別學生還在鉆研自已的方法，幾分鐘后，生5上黑板證明。

生5：證明：由 ，

當 時， ，① ，

當 時， ，② ，

不妨設 ，則過 兩點的橢圓的切線方程分別為：

，即 ；

，即 。

聯立兩方程解得： ，③

運算到此，生5頓感式子很繁瑣，看不出結果，有些喪氣，看到學生能有如此運算能力，我很欣慰，及時給予鼓勵，同時，生3給他幫助。

生3：由 共線得， ，有 ，④

將①②④式代入③作如下轉化：

，

（教室掌聲四起，生3的這種靈活轉化，使得點 的位置關系一目了然。）

點在右準線上。

，

。命題得證。

師：這道題的解答充分展示了我們同學有能力學好解析幾何，也表現出同學們強有力的分析解決問題，探究問題的能力。

學生們熱情不減，還得出在橢圓里， 與 一般情況不垂直等結論。

生10：（總結）設橢圓 ，過右焦點 的直線與橢圓交于 兩點，過 兩點分別作橢圓的切線，設交點為 。則：

（1） 點在右準線上；（2） =0；（3） 與 一般情況不垂直。

生11：可以用同樣的方法研究在雙曲線中的情形。

師：同學們已掌握了解題方法，下去自己總結歸納。

4.再思考與提升

為進一步拓展學生的發散思維，，也為不斷提升其核心素養，提出以下問題供學生繼續探究：

（1）過拋物線 上任意兩個動點 的直線，若滿足 ，則動直線 恒過定點_____。

（2）對橢圓 與雙曲線 又分別恒過定點_____。

課程進行到此，同學們紛紛驚嘆試卷中的解析幾何試題都能解決了，總結出問題的多樣性和解法的相對穩定性的結論。至此，同學們對 “定值定點”問題的分析方法和解題思路都能基本掌握。

5.教學反思

（1）本節課以問題為導向，通過學生的自主性學習，對圓錐曲線中“定值定點”作了初步探討，教學過程的組織尚存不足，但學生興趣濃厚，對解析幾何交匯處的問題形成解題思路，不僅從方法上給予指導，而且從不同的角度落實邏輯推理素養，數學運算素養，對學生所學的知識進行了鞏固與提升，達到一定的效果。最重要的是學生體會到高三的復習不是機械的記憶與接受，要對已學的知識與經驗實施“深加工”，使之更進一步充實、完善、提高方能進入最佳應試狀態。

（2）對老師而言，我們不可忽視課堂是提升核心素養的主渠道，基于問題驅動的課堂才是真正的數學課堂。課堂上不僅選題要精，同時要精心設計具有啟發性的問題。引導學生合理復習，最大限度調動其主觀能動性。力求通過不同形式的自主學習和探究活動，讓學生體驗數學的發現和創造的歷程，不僅使其綜合能力得到提升，又使數學的核心素養得以落實，從而更好的培養學生的創新能力。

參考文獻：

[1] 羅增儒.基于核心素養的教學研修.中學數學教學參考（上旬），2018（9）.

[2] 馬佑軍.基于核心素養的問題探究歷程.中學數學教學參考（上旬），2018（7）.

（作者單位：寶雞中學）