中國(guó)古代數(shù)學(xué)家和他們的學(xué)問(wèn)

仙湖客

明清之際，西方的數(shù)學(xué)體系傳入中國(guó)，中國(guó)的學(xué)者們?cè)谡痼@之余，也不斷反思，梳理中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，探究中國(guó)古代數(shù)學(xué)與當(dāng)時(shí)的西方數(shù)學(xué)問(wèn)的異同。經(jīng)過(guò)一番研究比較，人們認(rèn)為，當(dāng)時(shí)的西方數(shù)學(xué)知識(shí)固然先進(jìn)而自成體系，但其實(shí)也是中國(guó)“古已有之”的，不足為奇。康熙時(shí)代，“西學(xué)中源”說(shuō)被不少學(xué)者認(rèn)同，他們想當(dāng)然地認(rèn)為：商高、陳子等人的“勾股術(shù)”，劉徼的“重差術(shù)”，就是西方幾何學(xué)的源頭，李冶、朱世杰的“天元術(shù)”“四元術(shù)”，就是西方代數(shù)學(xué)的源頭，楊輝、朱世杰等人的“垛積術(shù)”，就是西方微積分的源頭，等等。我們的古人在數(shù)學(xué)方面付出了極大的努力，做出了巨大的貢獻(xiàn)，讓我們不要忘記這些光榮的名字：商高、陳子、劉徼、祖沖之、祖暅、沈括、秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰……

——周公（《周髀算經(jīng)》）

三千多年前的某一天，周朝的著名政治家周公在周王的花園里，碰到了數(shù)學(xué)家商高。

周公問(wèn)商高：你們這幫數(shù)學(xué)家不是故弄玄虛的吧？什么天有多高地有多大，日月星辰一天走幾度，怎么你們都知道啊？（“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，數(shù)安從出？”）

商高從容回答：數(shù)學(xué)家的學(xué)問(wèn)，妙就妙在并非什么都要用尺子來(lái)量，只須通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，一樣可以得到正確的數(shù)字。比如這個(gè)直角三角形——他用一根牛的大腿骨和一段繩子作道具，比比劃劃，向周公解說(shuō)：牛的大腿骨立在地上，高四尺，從牛骨的底端沿地面伸開(kāi)一段繩子，使這段繩子正好長(zhǎng)三尺，再將余下的繩子折向牛骨的頂端，請(qǐng)問(wèn)，最后這一段斜向牛骨頂端的繩子，應(yīng)該長(zhǎng)幾尺？不須用尺子量，它的長(zhǎng)度一定是五尺。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)家能算出太陽(yáng)的高度來(lái)，不是什么稀奇事。

商高總結(jié)說(shuō)：在一個(gè)直角三角形中，如果兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是三和四，那么斜邊的長(zhǎng)度一定是五，“勾三股四弦五”。這一個(gè)著名的論斷被記載在著名的《周髀算經(jīng)》一書(shū)里，這就是后人所熟知的“勾股定理”的一個(gè)特例。

勾股定理作為一個(gè)大自然的秘密，注定要被世界上各個(gè)地方的人們分別發(fā)現(xiàn)，或早或晚，因?yàn)檫@個(gè)定理就隱藏在人們的身邊，在每一個(gè)直角三角形里，除非你永遠(yuǎn)不蓋房子，不造馬車，不修陵墓，不建金字塔，否則，這個(gè)秘密就會(huì)不可避免地被人們發(fā)現(xiàn)。

在中國(guó)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)被歸在這個(gè)名叫商高的數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家的名下，所以后來(lái)又有人稱它為“商高定理”。當(dāng)然，如果僅僅有“勾三股四弦五”這一句話，那還不算真正全面闡述了勾股定理的內(nèi)容，“勾三股四弦五”只是勾股定理的一個(gè)特例。

若干年以后，周公的后人陳子也成了一個(gè)數(shù)學(xué)家，他曾詳細(xì)講述了運(yùn)用勾股定理測(cè)量太陽(yáng)高度的全套方案，為此，陳子說(shuō)了一句更為重要的話，同樣被記載在《周髀算經(jīng)》這部書(shū)里，他說(shuō)：“求斜至日者，以日下為句，以日高為股，句股各自乘，并以開(kāi)方除之，得斜至日。”

在商高和陳子的時(shí)代，人們以為腳下的大地是一個(gè)大得沒(méi)邊的平面，只要知道了從觀察點(diǎn)到太陽(yáng)正下方的距離，知道了太陽(yáng)離地面的垂直高度，當(dāng)然就可以求出太陽(yáng)到觀察者的直線距離了，從觀察點(diǎn)到太陽(yáng)的正下方是勾（“以日下為句”），太陽(yáng)到地面的垂直距離是股（“以日高為股”），剩下觀察點(diǎn)到太陽(yáng)的距離，就是弦（“斜至日”），如此如此，求“斜至日”的辦法是“勾股各自乘，并開(kāi)方除之”：勾和股先自己乘自己一遍，加起來(lái)的和再開(kāi)平方，就得到了弦長(zhǎng)。雖然和我們今天對(duì)勾股定理的表述在習(xí)慣上有所不同，但這也是對(duì)勾股定理的完整表達(dá)。

據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，陳子和他的科研小組測(cè)得日下六萬(wàn)里，日高八萬(wàn)里，根據(jù)勾股定理，求得斜至日整十萬(wàn)里。他進(jìn)而還算出了太陽(yáng)的直徑，為了達(dá)到這個(gè)目的，他用一只長(zhǎng)八尺，直徑一寸的空心竹筒來(lái)觀察太陽(yáng)，讓太陽(yáng)恰好裝滿竹筒的圓孔，這時(shí)候太陽(yáng)的直徑與它到觀察者之間的距離，其比例正好是竹筒直徑和長(zhǎng)度的比例，即一比八十。

可惜，這些結(jié)論都是錯(cuò)的！

——陳子（《周髀算經(jīng)》）

看起來(lái)，陳子是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)權(quán)威，《周髀算經(jīng)》這本書(shū)，除了最前面一節(jié)提到商高以外，余下的部分說(shuō)的都是陳子的事情。

一天，一位名叫榮方的人跑來(lái)請(qǐng)教陳子：聽(tīng)說(shuō)根據(jù)先生的學(xué)問(wèn)，可以算出太陽(yáng)有多高多大，一天之中太陽(yáng)行多少里，天有多高地有多遠(yuǎn)，總之想知道什么就知道什么，是這樣嗎？

陳子回答：然。

等了一陣不見(jiàn)下文，榮方只好再問(wèn)：“方雖不省，愿夫子幸而說(shuō)之。”陳子回答：其實(shí)也沒(méi)什么難的，不過(guò)是運(yùn)用一些算術(shù)的方法就足夠了，你回去好好思考一下吧。就這樣把榮方打發(fā)回去了。

榮方回去想了好幾天，還是想不出有什么好辦法可以算出太陽(yáng)的高度來(lái)，只好又去請(qǐng)教陳子：“方思之不能得，敢請(qǐng)問(wèn)之。”

陳子曰：“思之未熟。此亦‘望遠(yuǎn)起高之術(shù)’，而子不能得，則子之于數(shù)，未能通類，是智有所不及，而神有所窮。”一點(diǎn)也不客氣地批評(píng)了榮方。

注意陳子所說(shuō)的“望遠(yuǎn)起高之術(shù)”，這是當(dāng)時(shí)人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中，特別是大型的建設(shè)活動(dòng)中，已經(jīng)熟練掌握的一套測(cè)算距離和高度的方法，陳子認(rèn)為同樣可以用來(lái)測(cè)算太陽(yáng)的高度。

倒霉的榮方思考了好幾天，還是想不出問(wèn)題的答案，不得不第三次去請(qǐng)教，陳子這才原原本本，把這一套方法向榮方講了一遍。

陳子講得信心十足，卻根本沒(méi)有意識(shí)到，他想當(dāng)然的許多東西，其實(shí)都是錯(cuò)的。他不知道他腳下的大地，看似無(wú)邊無(wú)際，平坦無(wú)垠，實(shí)際不過(guò)是小小一丸球，體積僅為太陽(yáng)的130萬(wàn)分之一，以地球之微來(lái)測(cè)太陽(yáng)之巨，無(wú)異于“以蠡測(cè)海”。

除了太陽(yáng)的高度，陳子還講了許多問(wèn)題，天有多高地有多大，太陽(yáng)一天行幾度，在他那兒都有答案，所以人們認(rèn)為《周髀算經(jīng)》又是一部天文學(xué)著作，記載了不少當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)掌握的天文學(xué)知識(shí)。書(shū)的最后部分，陳子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，不失精確，而且基本上都是對(duì)的。

所以，三千多年前的陳子，他的學(xué)問(wèn)也不是那么簡(jiǎn)單的，雖然他不是全對(duì)。

——?jiǎng)⒒眨ā毒耪滤阈g(shù)注》序）

到了三國(guó)魏晉時(shí)代，中國(guó)又出了一位了不起的大數(shù)學(xué)家，他的名字叫劉徽。

根據(jù)劉微的著作，人們推斷他生活的時(shí)代是“三國(guó)魏晉”，他的出身，他的生平事跡則沒(méi)有人知道，但他的家庭條件比較好應(yīng)該是可以肯定的，因?yàn)閺男。陀袡C(jī)會(huì)在老師或長(zhǎng)輩的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn)，如他自己所稱的那樣：“幼習(xí)九章，長(zhǎng)再詳覽。觀陰陽(yáng)之割裂，總算術(shù)之根源，探賾之暇，遂悟其意。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是一年兩年了，很有心得。

劉徽一生的數(shù)學(xué)成就斐然，其中最為人們熟知的一項(xiàng)，是他詳細(xì)記錄了用“割圓術(shù)”算出圓周率“密率”的方法，這在當(dāng)時(shí)絕對(duì)是領(lǐng)先世界的數(shù)學(xué)成就。

劉徽也研究自商高、陳子那時(shí)就遺留下來(lái)的數(shù)學(xué)難題：“太陽(yáng)到底有多高猜想”。劉徽汲取了前人的經(jīng)驗(yàn)，提出更加完美的方案，假如我們腳下的大地真的是一個(gè)大得沒(méi)邊的平面，那么，用劉徽的這套辦法，就會(huì)真的計(jì)算出太陽(yáng)的高度來(lái)，如假包換。他的方案是：

立兩表于洛陽(yáng)之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實(shí)，實(shí)如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實(shí)，實(shí)如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。

讓我們簡(jiǎn)單翻譯一下，大體上說(shuō)，他的方案是這樣：

在洛陽(yáng)城外的開(kāi)闊地帶，一南一北，各立一根八尺高的標(biāo)桿，在同一天的正午時(shí)刻測(cè)量太陽(yáng)給這兩根標(biāo)桿的投影，以影子長(zhǎng)短的差作分母，以標(biāo)桿的長(zhǎng)乘以標(biāo)桿之間的距離做分子，兩者相除，所得再加上標(biāo)桿的長(zhǎng)，就得到了太陽(yáng)到地表的垂直高度。再以南邊一桿的影長(zhǎng)乘上兩桿之間的距離作為分子，除以前述影長(zhǎng)的差，所得就是南邊一桿到太陽(yáng)正下方的距離。以這兩個(gè)數(shù)字作為直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)，用勾股定理求直角三角形的弦長(zhǎng)，所得就是太陽(yáng)距觀測(cè)者的實(shí)際距離。

當(dāng)我們按照劉徽的思路，將他的這一套方案具體到一張幾何圖中的時(shí)候，我們就會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，他的方案看似莫名其妙，毫無(wú)邏輯可言，實(shí)則運(yùn)用了相似三角形相應(yīng)邊的長(zhǎng)成比例的原理，巧妙地用一個(gè)中介的三角形，將另外兩個(gè)看似不相干的三角形聯(lián)系在了一起。這一切，和我們今天在中學(xué)幾何課本中學(xué)到的方法一模一樣。而劉微其人生活的時(shí)代，距今已近兩千年了。

——?jiǎng)⒒眨ā毒耪滤阈g(shù)注》序）

和陳子一樣，劉徽測(cè)算太陽(yáng)高度的方案因?yàn)榍疤岬腻e(cuò)誤，結(jié)果當(dāng)然也是錯(cuò)誤的，不過(guò)，這套方案本身并不是為了測(cè)量太陽(yáng)的高度而專門設(shè)計(jì)的，方案的原始目的只是測(cè)算地面上的高山大河，測(cè)算山有多高，河有多寬，路有多遠(yuǎn)，只要忽略地球的表面是個(gè)球面這一問(wèn)題，劉徽的方案堪稱完美。

曾經(jīng)，在長(zhǎng)沙馬王堆的漢墓里出土過(guò)一幅帛畫(huà)的地圖，人們將它和實(shí)際的地形相比較，發(fā)現(xiàn)地圖驚人準(zhǔn)確，考古工作者還利用這張將近兩千年前的地圖作向?qū)В职l(fā)現(xiàn)了周圍一帶其他的地下遺跡。這看起來(lái)似乎很難讓人相信，但有了劉徽所記載的這一套測(cè)天量地的方法，這也就不算是什么奇跡了。

劉微總結(jié)的這一套測(cè)天量地的數(shù)學(xué)方法叫做“重差”。“重差”也是劉徽的一部數(shù)學(xué)著作的書(shū)名，這部著作研究的第一個(gè)例題是測(cè)算一個(gè)海島有多高多遠(yuǎn)的問(wèn)題，因此它還有一個(gè)名字叫做“海島算經(jīng)”。這部著作篇幅不長(zhǎng)，似乎沒(méi)有出過(guò)單行本，長(zhǎng)期以來(lái)附在《九章算術(shù)》的后面，流行于世，所以歷代的《九章算術(shù)》都有十卷。

劉徽對(duì)“重差術(shù)”進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，無(wú)論是測(cè)量一座山有多高，一條河有多寬，一道溝有多深，都可以用到重差術(shù)，其原理就是利用兩根或兩根以上的標(biāo)桿，將被測(cè)量的對(duì)象納入到一組相關(guān)的三角形中間來(lái)，又通過(guò)三角形之間的關(guān)系，算出所要求得的對(duì)象。顯然，古代的“重差術(shù)”，現(xiàn)在叫做“測(cè)量”或者“測(cè)繪”，也就是陳子提到的“望遠(yuǎn)起高之術(shù)”。

重差術(shù)經(jīng)過(guò)了實(shí)踐的檢驗(yàn)，劉徽曾自信地說(shuō)，利用這種方法“雖天穹之象猶日可度，又況泰山之高與江海之廣哉！”

——《九章算術(shù)》

和直角三角形一樣，圓這個(gè)幾何圖形里面，也隱藏著一個(gè)大自然的秘密，那就是圓周率。

我們的古人實(shí)在是太有才華，不管是中國(guó)的外國(guó)的數(shù)學(xué)家們，居然如此巧妙地，分別找到了計(jì)算圓面積的方法，讓人想不佩服都不行。

我們?cè)囋诩埳袭?huà)一個(gè)圓，將這個(gè)圓沿直徑分成兩個(gè)半圓，然后分別將兩個(gè)半圓像切西瓜一樣割成八塊，讓它們像切好的八塊西瓜一樣，一個(gè)挨一個(gè)放在桌子上，或者，想象它們是一把只有八個(gè)齒的梳子，現(xiàn)在我們有兩把這樣的梳子，再將這兩只梳子齒對(duì)齒地插在一起，于是就湊成了一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，它的短邊正好是這個(gè)圓的半徑，它的長(zhǎng)邊不是一條直線，而是由六段弧線構(gòu)成的。讓我們?cè)僮鬟M(jìn)一步假設(shè)，假設(shè)：我們當(dāng)初不是將半圓分成八份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，這條長(zhǎng)邊就會(huì)變成一段近似的直線，這條近似的直線非常接近半個(gè)圓周的長(zhǎng)度。

兩千多年前人們計(jì)算圓面積的方法就是這樣“化圓為方”，將圓周長(zhǎng)的一半與圓的半徑相乘，正如《九章算術(shù)》方田章中所指出的一樣：

“圓田……術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。”

圓面積的計(jì)算方法太簡(jiǎn)單了，簡(jiǎn)單到就像一層窗戶紙，一捅就破。但是，幾千年以前的數(shù)學(xué)家們，不知道花了多大的工夫，經(jīng)歷了多少不眠不休的思考，才終于捅破了這層窗戶紙。“假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數(shù)均等。”劉徽則在他的《九章算術(shù)注》里詳細(xì)寫(xiě)到了如何計(jì)算“圓周率”，也就是圓的周長(zhǎng)和直徑之間的比率。

在長(zhǎng)期的實(shí)踐活動(dòng)中，人們發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)和直徑之間有一個(gè)固定的比率，它的數(shù)值大約是3，只不過(guò)還要多那么一點(diǎn)。《九章算術(shù)》方田章的第三十一題是這樣的：今有圓田，周三十步，徑十步。問(wèn)為田幾何？

我們一看這個(gè)圓就有點(diǎn)問(wèn)題，世上并不存在一個(gè)直徑為十，周長(zhǎng)為三十的圓，“徑一周三”是中國(guó)古代圓周率的“約率”，在《九章算術(shù)》整本書(shū)里，圓周率采用的都是這個(gè)約率，顯然，這個(gè)約率相當(dāng)粗糙，給人們的生產(chǎn)生活實(shí)踐造成了不少煩惱。數(shù)學(xué)家們清楚，圓周率一定不是3，而是比3稍微大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù)字。追逐圓周率這個(gè)大自然秘密的競(jìng)賽，就這樣開(kāi)始了。

計(jì)算圓周率的突破性進(jìn)展，是由劉徽來(lái)完成的。劉徽在為《九章算術(shù)》作注的時(shí)候，詳細(xì)記載了用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率的方法，他正確計(jì)算出了圓內(nèi)接正192邊形和3072邊形的邊長(zhǎng)，從而得到了圓周率3.14和3.1416的數(shù)值，成為當(dāng)時(shí)領(lǐng)先世界的數(shù)學(xué)成就，這是我們都熟悉的史實(shí)。

“割圓術(shù)”的辦法，就是不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，讓這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)不斷地逼近圓周的方法。劉徽在《九章算術(shù)注》中寫(xiě)道：“假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數(shù)均等。合徑率一而外周率三也。”畫(huà)一個(gè)直徑二尺的圓，在圓中作一個(gè)內(nèi)接正六邊形，正六邊形的周長(zhǎng)和圓的直徑比例為三比一。正六邊形的邊長(zhǎng)恰好與圓的半徑相等，利用這一條件，依勾股定理，可以求得這個(gè)等邊三角形的高。一切從這里開(kāi)始，按同樣步驟重復(fù)下去，圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)會(huì)不斷接近圓的周長(zhǎng)，求得的圓周率也就會(huì)越來(lái)越精確。

劉徽想到了，而且做對(duì)了。通過(guò)這種方法來(lái)計(jì)算圓周率，要經(jīng)過(guò)怎樣龐大的計(jì)算，可想而知，其中還要反復(fù)用到繁難的開(kāi)方計(jì)算，可是古代的數(shù)學(xué)家們毫不畏懼，勇敢迎接挑戰(zhàn)，一點(diǎn)一點(diǎn)，再接再厲，試圖揭開(kāi)這個(gè)隱藏很深的秘密。

——秦九韶（《數(shù)書(shū)九章》序）

生活年代較劉徽晚一點(diǎn)的祖沖之，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，他同樣利用了“割圓術(shù)”的辦法，窮追圓周率這個(gè)大自然中無(wú)盡的秘密，通過(guò)艱苦的努力，也取得了不俗的成績(jī)，刷新了記錄，名垂后世。

和劉徽的情況稍有不同，祖沖之在當(dāng)時(shí)（南朝宋、齊）的政府里面任有職務(wù)，所以在官方的史書(shū)中，留下了一篇簡(jiǎn)短的傳記。據(jù)說(shuō)他很有巧思，曾經(jīng)設(shè)計(jì)制造過(guò)一些自動(dòng)化的機(jī)械，可以與諸葛亮的“木牛流馬”相媲美。

祖沖之的兒子祖暅也是一位數(shù)學(xué)家，父子兩人合著了一本名叫《綴術(shù)》的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中就記載了他們將圓周率計(jì)算到3.1415926與3.1415927之間的成果，這在當(dāng)時(shí)也是相當(dāng)突出的成績(jī)。可惜，后來(lái)《綴術(shù)》一書(shū)失傳了，只有從其他著作的引文中，后人才能看到這本書(shū)的片斷。

祖暅癡迷數(shù)學(xué)的程度有甚于他的父親，當(dāng)他思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，哪怕天上打著驚雷，他也可以充耳不聞。一天，祖暅一邊走路，一邊思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，不小心撞到了別人的身上，一時(shí)傳為笑談，事情被寫(xiě)進(jìn)了他們父子兩人的傳記之中。

到了十三世紀(jì)的宋元時(shí)期，中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展又迎來(lái)了一個(gè)黃金時(shí)代，達(dá)到了一個(gè)新的高峰，可惜這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的最后一個(gè)高峰，此后，中國(guó)古代數(shù)學(xué)再也沒(méi)有突破性的進(jìn)展，而西方的數(shù)學(xué)研究則取得了飛躍的進(jìn)步。

在這個(gè)最后的黃金時(shí)代，中國(guó)出現(xiàn)了四位最重要的數(shù)學(xué)家，被后人稱為“宋元四大家”，他們是南宋的秦九韶、楊輝，金元時(shí)期的李冶，元朝的朱世杰。

秦九韶早年“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，學(xué)成以后，寫(xiě)成了著名的《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)。在該書(shū)的序言中，秦九韶寫(xiě)道：“數(shù)理精微，不易窺識(shí)，窮年致志，感于夢(mèng)寐，幸而得知，謹(jǐn)不敢隱。”日思夜想，夢(mèng)寐求之，一旦有所收獲，趕緊記錄下來(lái)，留給后世。科學(xué)，就在這樣點(diǎn)點(diǎn)滴滴的努力中，得到了進(jìn)步。

楊輝是南宋另一位著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面的著作很多，除了對(duì)學(xué)科中的某些領(lǐng)域有所開(kāi)拓以外，他還將《九章算術(shù)》中的題目重新做了排列分類，指導(dǎo)人們學(xué)習(xí)研究，對(duì)古代數(shù)學(xué)的教育和普及做出了貢獻(xiàn)。

朱世杰是元朝享有盛譽(yù)的職業(yè)數(shù)學(xué)家，后人稱他“以數(shù)學(xué)名家，周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”，學(xué)術(shù)地位非同一般。朱世杰的數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》兩種。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳朝鮮、日本等國(guó)，古代朝鮮曾以《算學(xué)啟蒙》開(kāi)科取士，深刻影響了這些國(guó)家的數(shù)學(xué)教育和發(fā)展歷史。《四元玉鑒》則是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)成就有“四元術(shù)”、“垛積術(shù)”與“招差術(shù)”等。

而四人中最為出色的，應(yīng)當(dāng)是李冶。

——《四元玉鑒》序

“宋元四大家”中的李冶，是真定欒城縣（今河北省石家莊市欒城區(qū)）人，金朝進(jìn)士。當(dāng)蒙古帝國(guó)的軍隊(duì)攻入中原、圍困金朝的南京汴梁之際，李冶就在圍城之中。城破之后，李冶輾轉(zhuǎn)北上，來(lái)到河北一個(gè)名叫“封龍山谷”的地方，隱居下來(lái)，一呆就是二十年。在這里，李冶開(kāi)辦了一所名叫“封龍書(shū)院”的學(xué)校，教授他畢生精研的數(shù)學(xué)。李冶著有《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》兩部數(shù)學(xué)著作，其中《測(cè)圓海鏡》的成書(shū)標(biāo)志著“天元術(shù)”的成熟，《益古演段》則是“天元術(shù)”的普及讀物。

李冶在他的著作中，研究了把實(shí)際問(wèn)題化成高次方程的數(shù)學(xué)模型，他稱方程中的未知數(shù)為“天元”，稱他的求解方法為“天元術(shù)”。有研究者指出：李冶的《測(cè)圓海鏡》標(biāo)志著“天元術(shù)”的成熟，此后，元朝郭守敬編撰《授時(shí)歷》，使用“天元術(shù)”求周天弧度，又用“天元術(shù)”來(lái)解決水利工程中的計(jì)算問(wèn)題，都收到了良好的效果。“天元術(shù)”很快發(fā)展為“二元術(shù)”、“三元術(shù)”，以至朱世杰的“四元術(shù)”，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次高潮。

1265年，應(yīng)元世祖忽必烈的反復(fù)邀請(qǐng)，七十三歲的李冶離開(kāi)封龍山谷，來(lái)到北京城里，在元朝剛剛建立的翰林院里任職。可以想象，一個(gè)隱居了二十年的老數(shù)學(xué)家，到了翰林院這樣的機(jī)關(guān)里，還能有什么大的作為？這份工作顯然不適合李冶其人，所以他“就職期月，復(fù)以老病辭去”，堅(jiān)決地托病辭職了。

李冶離開(kāi)北京回山，從此不再離開(kāi)封龍山谷半步，他繼續(xù)埋頭研究、教授數(shù)學(xué)，直至87歲去世。史家評(píng)論李冶：“講學(xué)著書(shū)，秘演算術(shù)，獨(dú)能以道德文章，確然自守，至老不衰。”他還有兩句詩(shī)流傳至今，很好道出了他在封龍書(shū)院的身心狀態(tài)：“隱身免留千載笑，成書(shū)還待十年閑！”

公元1279年年初，南宋王朝最后的武裝力量在廣東崖山海域覆亡，其后某一天，八十七歲的老數(shù)學(xué)家在遺囑中寫(xiě)道：“吾平生著述，死后盡可燔去，獨(dú)《測(cè)圓海鏡》，雖九九小數(shù)，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布廣垂永乎？”

前不見(jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們的一生是何等寂寞啊！李冶老人不知道，他當(dāng)年研究的“九九小數(shù)”，今天已經(jīng)成了人類最重要的學(xué)問(wèn)之一，豈止“布廣垂永”，而且日新月異，人才輩出。后人也到底沒(méi)有忘記這些古代數(shù)學(xué)的先驅(qū)者們，1992年，在李冶的故鄉(xiāng)河北欒城，人們建起了一所“李冶陳列館”，以此紀(jì)念李冶誕生800周年。李冶這位中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，已被公認(rèn)為中國(guó)乃至世界的文化名人。

李冶先生泉下有知，可以含笑而無(wú)憾了。

（：看歷史 2019年07期）