基于核心素養下中考數學

吳秀洪

摘 要：二次函數是初中數學的重要知識，它是銜接高中知識的重要紐帶，而它又與初中數學的代數、幾何、三角函數等知識有密切的聯系。二次函數是各個地方數學中考的熱點，也是重點。是以本文探究二次函數常見題型的剖析，從而提高學生分析和解決二次函數問題的能力。

關鍵詞：二次函數；題型；剖析

一、線段數量及最值問題

例如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c過點D（-2，0），B（0，-2），C（3，4），與x軸交于A、D兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使PB+PD最小，求此時點P的坐標；

（3）如圖②，若點G是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的一點G，使得|GA-GC|的值最大？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；

分析：

（1）略

（2）求一動點到直線同側兩定點的距離和的最小值，方法就是作對稱、連線段.

（3）要求|GA-GC|的最大值時點G的坐標，當C，A，G三點在同一條直線上時，可通過求直線CA的解析式，求出點G.

二、三角形面積最值問題

例如圖①，在直角坐標系中，直線y=x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點C，點B在x軸的正半軸上，且AB=4，拋物線y=ax2+bx+c經過點A，B，C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖②，在直線AC上方的拋物線上，存在一點P（不與D重合），使△ACP的面積等于△ACD的面積.請求出點P的坐標.

（3）如圖②，在直線AC上方的拋物線上，是否存在一點M，使△MAC的面積最大？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：

（1）略

（2）要求點P的坐標，先確定點P的位置，由于△ACD與△ACP的共邊AC，則只要等高，面積即相等，可過點D作AC的平行線與拋物線相交，交點即為所求點.

（3）要使△MAC面積最大，可先把△MAC的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數的性質討論其最值.

三、等腰三角形的存在性問題

例如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點為A（1，0），B（4，0），與y軸的交點為C（0，3）.

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）連接BC，線段BC上是否存在點M，使△COM是等腰三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：

（1）略

（2）未明確說明等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①OM=OC；②MC=OC；③CM=OM，三種情況討論。

四、直角三角形的存在性問題

例已知：拋物線經過點A（-2，0），B（4，0）和點C（3，4）.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使△QAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

分析：

（1）略

（2）要使△QAC為直角三角形時的點Q的坐標，利用兩點之間的距離公式分別求出AC，QA，QC長的平方，故要分類討論：①當A為直角頂點的直角邊；②當C為直角頂點的直角邊；③當AC為斜邊，三種情況討論。

五、相似三角形的存在性問題

例如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+1與x軸交于點A，與y軸交于點C，過點C的拋物線y=ax2-2x+b與直線AC交于點B（3，2），

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸與BC相交于點Q，點P是拋物線對稱軸上的動點，且點P不與點Q重合，是否存在點P，使得以P、B、Q為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

分析：

（1）略

（2）由已知條件可知△AOC是直角三角形，所以△BPQ一定也是直角三角形，故點P一定在點Q的上方.在△AOC和△BPQ中，∠ACO=∠BQP，所以只需要在△BPQ中確定一個直角即可.分兩種情況考慮：①當∠BPQ=90°時；②當∠QBP=90°時，再分別求出點P的坐標.

六、特殊四邊形的存在性問題

例如圖，拋物線經過A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）三點，頂點為M，連接AC，拋物線的對稱軸為l，l與x軸交點為D，與AC交點為E，

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設點N是拋物線上一點，點S是x軸上一點，是否存在點N，使得以A，E，N，S為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設點G是拋物線對稱軸上一點，點K是平面內一點，是否存在點G，使得以A，C，G，K 為頂點的四邊形是矩形，若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）設點Q是拋物線上一點，點R是平面內一點，是否存在四邊形AQCR是菱形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：

（1）略

（2）分NS為平行四邊形的邊和NS為平行四邊形的對角線兩種情況討論.結合圖形，由平行四邊形性質得到△SNT≌△AED，從而得到NT=ED=2，即可得到點N的坐標.

（3）先分析得出只需△ACG是直角三角形即可，然后利用勾股定理列方程求解.，

（4）由四邊形AQCR是菱形可確定AC是對角線，結合OC=OA.過點O作OI⊥AC，且OI平分AC，從而可得點Q在OI上.只需求出OI所在直線的解析式，與拋物線聯立方程組得點Q的橫坐標.

二次函數屬于中考壓軸題，中考知識點繁多，考點靈活多變，而且難度較高，這就要求學生在復習二次函數時，必須把相關性質及相關解題技巧掌握扎實，理解透徹，把握好中考二次函數命題方向，這樣學生就能事半功倍，拿到更高的分數。

參考文獻：

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[2] 徐速，《國內數學學習心理研究的綜述》，心理科學，2013

[3] 謝景力，《數學概念的二重性及其對教學的啟示》，湖南教育

[4] 鐘志賢，《關于中小學教師信息素養狀況的調查研究》，電化教育研究.

（作者單位：貴州省貞豐縣第二中學）