輔助函數在數與式的大小比較中的應用

向明國

摘 要：輔助函數是高中數學的重要內容之一，函數知識在數學和其他許多學科中有著廣泛的應用。它所反映的數學思想方法已廣泛滲透到數學的各個領域。

關鍵詞：輔助函數

許多數學問題運用常規的思考方法解決較為困難，但我們只要善于觀察，豐富聯想，另辟蹊徑，在弄清題目中各條件及結論相互之間聯系的基礎上，給予適當的邏輯組合，通過構造合適的輔助函數，并運用函數的相關性質，問題將巧妙的得到解決。在數與式的大小比較中適當的引入輔助函數極具新穎性，能有效的使問題轉化，達到化難為易的效果。

例1 比較 與 的大小。

解：作輔助函數

，

當 時， ，

又 ，則 ，

所以

，

即 。

評注：本題通過巧構對數函數，將問題轉化，經過變形，問題巧妙的得到解決。

例2 若 ，試比較 的大小.

解：令輔助函數 ，并作出 在 內的圖像；

易知兩函數在 內有一交點，

又 ，

由圖可知：

當 時， ，

當 ， ，

當 ， 。

評注：本題通過數形轉化，作相應輔助函數，運用函數圖像，從“形”的角度比較兩式的大小，更直觀，顯得簡潔，明了。

結束語

函數蘊含著許多數學思想，因而通過構建輔助函數將其它的數學問題轉化為函數問題，借助于函數思想方法來解決這些問題有很大的應用空間。體現出數學思維的全面性和創造性，能全面提高學生的數學素養。

（作者單位：四川省廣元市八二一中學）