粘彈性地基計算模型綜述

郭向龍

0 引言

隨著我國基礎建設進程的快速發展,城市建設、水利水電工程、環境工程、堤壩岸坡工程、交通(路橋、港口)工程、機場等各類土建工程的基礎工程,每年都要耗費巨大的材料費用,隨著加工新技術、新施工工藝過程的出現和應用,在經濟上、技術上都迫切需要我們更加關注彈性地基上結構計算方法的準確、可靠、合理性。

建筑結構的基礎工程設計計算,通常是將上部結構、地基和基礎分開考慮,并作為彼此獨立的結構單元進行分析計算。這種常規方法對單層排架結構的上部柔性結構和地基土質較好的獨立基礎可以得到滿意的計算結果,但是對于軟弱地基和一般土質天然地基的基礎采用一般常規的計算方法卻不能得到令人滿意的結果。由于任何建筑物都是由上部結構、地基和基礎三部分組成的,作為一個整體這幾部分是相互聯系、相互影響的。把三者隔離開來分別設計和計算有時會與實際情況不同,必然會造成較大誤差。合理的設計計算方法是將三者作為一個彼此協調的整體,在連接點和接觸滿足變形協調條件下求解整個系統的內力與變形,也就是土與結構共同作用分析[1]。目前,土—結構共同作用的研究已成為了工程中的一個熱點。這一研究內容已越來越受到重視,并且已在地基上梁和板的分析、高層建筑箱形基礎內力計算等方面部分地應用。但是這種共同分析的方法是相當復雜的,還有許多研究難點需要解決。

梁與地基之間的相互作用問題是土木工程領域一直深入研究的一個重要課題,是土—結構的相互作用分析的重要研究內容。它對結構工程和巖土工程均具有十分重要的意義,目前已在公路、鐵路、機場、高層建筑地基基礎、地下管道、地下鐵道、造船等領域得到了廣泛的應用。這類研究所提供的資料既可用于基礎的結構設計,又可用以分析支承土介質內的應力和變形。

由于土的力學特性與時間有關,粘性土尤其顯著,主要表現在定常應力下應變隨時間而逐漸增長的蠕變特性和定常應變下應力隨時間而逐漸減少的松弛特性等[2]。為了描述這種特性,在粘彈性地基上梁和板的分析中,目前主要應用粘彈性地基模型[3,4],這類模型已有多種形式,本文主要介紹幾種常用的粘彈性模型。

1 粘彈性模型

我們首先考慮彈性地基的分析,我們假定把地基看作是許多互不聯系的彈簧,如圖1所示的彈簧服從胡克定理,即:

其中,若 σ為正應力,ε為正應變,則 E為楊氏彈性模量。理想彈性元件(彈簧)的應力應變關系是不隨時間而發生變化的,呈現出瞬時彈性變形和瞬時恢復而不產生蠕變和應力松弛。

粘彈性地基模型是在彈性地基模型基礎上加入了粘彈性元件(阻尼器或粘壺),如圖 2所示,對于粘性元件(阻尼器或粘壺)它代表牛頓流體,服從牛頓內摩擦定律:

其中,若 σ為剪切應力 τ,ε為剪切應變 γ的一半,則 ε˙為剪切應變速率 γ˙的一半(流速梯度);η為黏度系數。其中,σ和 ε˙具有一一對應的關系,但 σ與 ε并無直接關系。

地基的粘彈性性質,可采用粘彈性模型理論來描述,粘彈性模型可以由離散的彈性元件(彈簧)和粘彈性元件(阻尼器或粘壺)按不同的連接方式組合而成。

2 M axwell模型

Maxwell(麥克斯威爾)模型是由一個彈簧和一個阻尼器串聯而成的粘彈性力學模型,麥克斯威爾連接方式相當于電路中的串聯電路,也稱松弛模型,它是模型理論中的一種基本模型,如圖 3所示。

在應力 σ作用下,麥克斯威爾模型的本構方程可根據等截面應力相等的原則來建立。若彈簧的應變為 ε1,阻尼器的應變為ε2,則麥克斯威爾模型的總應變 ε為兩者之和 ε1+ε2。對時間求導得:

則可得:

上式即為麥克斯威爾模型的本構方程。

3 Kelvin模型

Kelvin(開爾文)模型由彈簧和阻尼器并聯而成,如圖 4所示。

在這種并聯連接方式下,兩元件的應變相等為 ε,總應力等于兩元件的應力和,即:

代入應力應變關系中可得:

上式就是開爾文模型的本構方程。

4 三參量固體模型

固體在施加或取消應力后,通常立即發生一定大小的彈性應變,接著是蠕動。二參數模型中的麥克斯威爾和開爾文這兩種粘彈性體模型都部分地反映了真實固體的上述性質,但在許多情況下它們并不能滿意地描述應力—應變特征。對于復雜地基有時需要用到比較復雜的粘彈性模型,所以就需要用基本元件和基本模型串聯或者并聯組合成較為復雜、合理的粘彈性模型。由一種基本模型和一種基本元件經過串聯或者并聯可以組合成不同的四種三元件模型,本文主要介紹一種常用的三元件模型,如圖 5所示。

圖 5的三參元模型是由一個彈性元件和麥克斯模型串聯而成的,也就是三參量固體模型。顯然,在應力σ作用下,總應力為彈簧元件的應力 σ1與麥克斯威爾模型的應力 σ2的和,即:

彈簧元件的應變與麥克斯威爾模型的應變相等,均為ε,也即總應變為:

則有:

由上式得到三參量模型的本構方程:

三參量模型既能體現材料的松弛現象,又能反映材料的蠕變性能。

5 Burgers模型

由一個開爾文模型和一個麥克斯威爾模型串聯而成的四元件模型即為 Burgers(伯格斯)模型,如圖 6所示。

由于元件的增多,Burgers模型的應力應變關系更為復雜,這種模型代表某些復雜粘彈性材料的流變性質。

在應力σ作用下,麥克斯威爾模型的應力與開爾文模型的應力相等,均為 σ,應變分別為 ε1,ε2,總應變 ε為兩者之和,如下:

根據上式可得:

上式就是Burgers模型的本構方程,它是一種復合粘彈性模型。

6 結語

以上所介紹的幾種粘彈性模型,在麥克斯威爾模型的本構方程中,若 E→∞,則彈簧成為剛體,麥克斯威爾體轉化為牛頓體;若η→∞,則阻尼器成為剛體,麥克斯威爾體轉化為胡克體。如果已知粘彈性地基參數E和η,則可利用麥克斯威爾的本構方程來分析地基的蠕變、回復和應力松弛等現象。但是麥克斯威爾模型只能描述地基的松弛特性而不能確切地描述蠕變特性。相比麥克斯威爾模型,開爾文模型只能描述地基的蠕變特性而不能正確地描述松弛特性。而三參量固體模型則既能體現松弛現象,又能反映地基的蠕變性能,伯格斯模型代表了某些復雜粘彈性地基的流變性質。在土工計算工作除選擇土的力學模型外,尚需確定土的力學模型的參數和采用合適的計算方法。

[1]陳 震,陳勁蕾,張海濤.地基基礎與上部結構的共同作用研究[J].江漢大學學報,2004,32(4):86-89.

[2]蔣彭年.土的本構關系[M].北京:科學出版社,1982.

[3]祝彥知,程 楠,薛保亮.四種粘彈性地基上彈性地基板的自由振動解[J].強度與環境,2001(3):31-41.

[4]王贊芝,江林燕,辛立鳳,等.與黏彈性地基相互作用的梁的自由振動分析[J].工業建筑,2009,39(10):57-62.