感悟模型思想與化歸方法

孔凡哲

方程是初中數學的核心內容之一，在學習過程中“習知識、長智慧、提升數學素養”。成為我們學習的核心和焦點。

一元一次方程是最簡單、最基本的方程。是進一步學習一元二次方程、二元一次方程（組）、不等式、函數等知識的重要基礎。雖然我們在小學曾經學過形如ax±b=c的簡易方程，但是方程的基礎理論是在初中階段才正式開始學習的。正是由于一元一次方程的特殊地位及其與后續內容的關聯，使得其重要地位無可替代。

在一元一次方程的學習中。我們需要經歷方程概念的抽象過程。積淀數學抽象的直接經驗。掌握方程、一元一次方程的相關概念，初步把握解一元一次方程的基本技能，充分體會方程所包含的基本思想方法——模型思想與化歸方法，不斷提升自己的抽象能力，不斷豐富“方程有趣、有用”的情感和提升“我能學好方程”的自信心，進而達成“習知識、長智慧、提升數學素養”的目標。

一、在建立方程模型過程中積淀抽象的經驗、感受模型思想

例1希臘數學家丟番圖是代數學的創始人之一。是第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。其中，丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了。丟番圖的墓碑上記載著：

他生命的六分之一是幸福的童年，再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須。他結了婚。又度過了一生的七分之一。再過5年。他有了兒子，感到很幸福，可是兒子只活了他父親全部年齡的一半。兒子死后。他在極度悲痛中度過了4年。也與世長辭了。

長眠于如此奇特的墓碑之下。丟番圖對數學的熱愛可見一斑。丟番圖究竟活了多大歲數呢？

解析8這是一道以人的年齡為主線的實際問題。解決問題的關鍵在于分析問題中的數量關系。找出其中的相等關系。建立方程。

①發現實際問題中的量。以及量與量之間的相等關系。

這個實際問題涉及多個量。既包括丟番圖的年齡，也包括他在童年期、青少年期等每個時期的時間。以及他兒子的年齡。

②用自然語言表示等量關系。

這些量與量之間最重要的相等關系是：

丟番圖活的歲數是各個時期的時間的總和。

③用半符號（或符號）語言表示等量關系。

第一次抽象是從現實問題到用自然語言表示等量關系的過程。這是方程建模的關鍵。

第二次抽象是用數學符號等價表示等量關系。

一元一次方程比較全面地展示了建模思想。即用等號將相互等價的兩件事情聯立。等號的左右兩邊相互等價。至于其中的關系是用自然語言表示，還是用數學符號表示，都是次要的。其關鍵在于等號左右兩邊的兩件事情在數學上是等價的。這是數學模型的本質表現之一。

二、深入理解化歸方法;在實踐中探求解方程的最優過程

解方程的基本思路是“化繁為簡。化生為熟”。具體表現為同解變形（即保持方程的解不變的恒等變形）。解方程的核心就是利用等式的性質以及運算律，將方程逐步化成x=a（a是常數）的形式。

可見。特殊方程往往需要特殊解法。

事實上，將含未知數的項集中到方程的一邊。將不含未知數的項集中到方程的另一邊。對含未知數的項進行整式運算（合并同類項等），對不含未知數的項進行四則混合運算。最終化為ax=b的形式。進而求出未知數x的值。這才是解一元一次方程的關鍵。